1) Сколько целых решений имеет данная система неравенств: y-5 2-x/2+1 и 0,2(3x-2)+3> 4x/3-0,5(x-1)?

Ilya

4

Хорошо, рассмотрим данную систему неравенств:

\[
\begin{align*}
y - 5 &\leq \frac{2 - x}{2} + 1 \quad \text{(1)} \\
0.2(3x - 2) + 3 &> \frac{4x}{3} - 0.5(x - 1) \quad \text{(2)}
\end{align*}
\]

Для начала приведем обе неравенства к удобному виду.

Рассмотрим неравенство (1):

\[
y - 5 \leq \frac{2 - x}{2} + 1
\]

Сначала найдем правую часть неравенства:

\[
\frac{2 - x}{2} + 1 = \frac{2 - x + 2}{2} = \frac{4 - x}{2}
\]

Теперь можем переписать неравенство (1) в следующем виде:

\[
y - 5 \leq \frac{4 - x}{2}
\]

Перенесем \(y\) и \(\frac{4 - x}{2}\) на одну сторону неравенства:

\[
y - \frac{4 - x}{2} \leq 5
\]

Чтобы избавиться от дроби в знаменателе, умножим обе части неравенства на 2:

\[
2y - (4 - x) \leq 10
\]

Разложим скобку:

\[
2y - 4 + x \leq 10
\]

Поменяем порядок слагаемых:

\[
x + 2y \leq 14 \quad \text{(3)}
\]

Теперь рассмотрим неравенство (2):

\[
0.2(3x - 2) + 3 > \frac{4x}{3} - 0.5(x - 1)
\]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[
0.6x - 0.4 + 3 > \frac{4x}{3} - 0.5x + 0.5
\]

Теперь можем упростить неравенство:

\[
0.6x + 2.6 > \frac{3 \cdot 4x - 3 \cdot 0.5x + 3 \cdot 0.5}{3}
\]

Упростим выражение в знаменателе:

\[
0.6x + 2.6 > \frac{12x - 1.5x + 1.5}{3}
\]

Приведем числитель к общему знаменателю:

\[
0.6x + 2.6 > \frac{10.5x + 1.5}{3}
\]

Перемножим числитель и знаменатель правой части на 3:

\[
0.6x + 2.6 > \frac{31.5x + 4.5}{10}
\]

Умножим обе части неравенства на 10, чтобы избавиться от дробей:

\[
6x + 26 > 31.5x + 4.5
\]

Перенесем слагаемые с \(x\) на одну сторону и числа на другую:

\[
6x - 31.5x > 4.5 - 26
\]

Сократим числовые коэффициенты:

\[
-25.5x > -21.5
\]

Домножим обе части неравенства на \(-\frac{2}{51}\) для упрощения:

\[
x < \frac{-21.5}{-25.5} = \frac{43}{51} \quad \text{(4)}
\]

Таким образом, мы получили систему неравенств:

\[
\begin{align*}
x + 2y &\leq 14 \quad \text{(3)} \\
x &< \frac{43}{51} \quad \text{(4)}
\end{align*}
\]

Для определения количества целых решений этой системы необходимо построить графики обоих неравенств на координатной плоскости и найти область их пересечения.

Начнем с неравенства (3): \(x + 2y \leq 14\)

Построим его график. Для этого проведем прямую, соответствующую уравнению \(x + 2y = 14\). Найдем две точки на этой прямой, например, при \(x = 0\) и \(y = 7\) и при \(x = 14\) и \(y = 0\). Проведем прямую через эти точки:

\[
\begin{align*}
x + 2y = 14 \\
0 + 2 \cdot 7 = 14 \\
14 + 0 = 14 \\
\end{align*}
\]

Теперь рассмотрим неравенство (4): \(x < \frac{43}{51}\)

Построим его график. Для этого проведем вертикальную прямую на плоскости, которая будет пересекать ось \(x\) в точке \(\frac{43}{51}\). Найдем эту точку:

\[
x = \frac{43}{51}
\]

Теперь нарисуем вертикальную прямую через эту точку.

Пересечение областей, заданных графиками обоих неравенств, представляет собой множество решений исходной системы.

Таким образом, чтобы определить количество целых решений системы, нужно проанализировать эту множественность пересечения.

В данном случае, так как рассматриваемая область является непрерывной и непустой, то система будет иметь бесконечное количество решений.

Надеюсь, ответ был понятен и полезен для вас! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь!