1. Сколько четырехзначных чисел можно найти, при условии что: а) они являются четными; б) все цифры состоят только

Джек

38

1. Четырехзначные числа, удовлетворяющие различным условиям:

а) Они являются четными. Для того, чтобы число было четным, последняя цифра должна быть четной. В данном случае это может быть 0, 2, 4, 6 или 8. Первая цифра может быть любой из 1, 2, 3, ..., 9 (не может быть 0, чтобы число было четырехзначным). Оставшиеся две цифры также могут быть любыми из 0, 1, ..., 9. Используя правило умножения, получим количество четырехзначных четных чисел: \(5 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 10\).

б) Все цифры состоят только из четных чисел. В данном случае каждая цифра может быть одной из 0, 2, 4, 6 или 8. Первая цифра не может быть 0, чтобы число было четырехзначным. Используя правило умножения, получим количество четырехзначных чисел, где все цифры состоят только из четных чисел: \(5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\).

в) Сумма цифр является четной. Сумма четного числа всегда четна. Для получения четырехзначного числа, сумма цифр которого является четной, нужно учесть следующие случаи: (2, 2, 2, 2), (2, 2, 4, 4), (2, 4, 4, 4), (4, 4, 4, 4), (0, 0, 0, 0), (0, 2, 4, 4) и их перестановки. Используя правило комбинаторики, получим количество четырехзначных чисел, сумма цифр которых является четной: \(C(4,4)+C(4,2) \cdot C(4,2) \cdot C(4,2)+C(4,1) \cdot C(4,1) \cdot C(4,1) \cdot C(4,1)=1+36+64=101\).

г) Они делятся на 4. Чтобы число делилось на 4, его последние две цифры должны составлять число, делящееся на 4. Это могут быть 04, 08, 12, 16, ..., 96. Первая цифра может быть любой из 1, 2, 3, ..., 9 (не может быть 0, чтобы число было четырехзначным). Используя правило умножения, получим количество четырехзначных чисел, делящихся на 4: \(9 \cdot 10 \cdot 5\).

2. Количество четырехбуквенных слов, удовлетворяющих различным условиям:

а) Первая буква должна быть гласной. Гласные буквы в данном случае это А и Е. Первая буква может быть только одной из них, остальные три буквы могут быть любыми из 7 доступных. Используя правило умножения, получим количество четырехбуквенных слов, где первая буква является гласной: \(2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7\).

б) Последние две буквы должны быть Е и М. Зная, что эти две буквы уже заняты, первая и вторая буквы должны быть выбраны из оставшихся пяти. Третья буква может быть любой из шести оставшихся букв. Используя правило умножения, получим количество четырехбуквенных слов, где последние две буквы равны Е и М: \(5 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 1\).

в) Гласные и согласные буквы должны чередоваться. Первая буква может быть любой из трех гласных (А, Е) и двух согласных (Д, К). Вторая буква уже должна принадлежать к другой группе (гласные/согласные) и может быть выбрана из двух доступных букв. Аналогично, третья и четвертая буквы должны чередоваться между гласными и согласными, и каждая может быть выбрана из двух доступных. Используя правило умножения, получим количество четырехбуквенных слов, где гласные и согласные буквы чередуются: \(3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\).

г) Все буквы должны быть гласными. В данном случае все буквы должны быть выбраны из группы гласных букв (А, Е). Используя правило умножения, получим количество четырехбуквенных слов, где все буквы являются гласными: \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\).

д) Все буквы должны быть согласными. В данном случае все буквы должны быть выбраны из группы согласных букв (Б, Д, К, М). Используя правило умножения, получим количество четырехбуквенных слов, где все буквы являются согласными: \(4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4\).

е) Буква Е не должна присутствовать. В данном случае только четыре доступные буквы (А, Б, Д, К) могут быть использованы. Используя правило умножения, получим количество четырехбуквенных слов, где буква Е не встречается: \(4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4\).

3. Количество красных и синих шаров в урне:

В урне имеется 10 красных и 8 синих шаров. Всего шаров: 10 + 8 = 18.