1. Сколько сила натяжения стержня, когда гиря достигает самой высокой и самой низкой точки траектории, если гиря массой

Magiya_Reki

52

Задача 1:
Для решения данной задачи, мы можем применить закон сохранения энергии. В самой высокой точке траектории гиря находится в состоянии покоя, и её кинетическая энергия равна нулю. Таким образом, всю механическую энергию гиря получает от потенциальной энергии. В самой низкой точке траектории гиря не имеет потенциальной энергии, а её кинетическая энергия максимальна. Обозначим силу натяжения стержня как F.

В самой высокой точке траектории потенциальная энергия гиря равна максимальной высоте подъема. Используя формулу потенциальной энергии гравитационного поля U = mgh, где m - масса гири, g - ускорение свободного падения (приближенно равно 9,8 м/c²), h - высота подъема, найдем выражение для потенциальной энергии гиря в самой высокой точке:

\[U = mgh\]
\[m \cdot g \cdot h = 0\]
\[m \cdot g \cdot h = 0 \cdot g \cdot h \quad \Rightarrow \quad F \cdot h = 0\]

Так как гиря находится в состоянии покоя, то сила натяжения стержня равна нулю в самой высокой точке траектории.

В самой низкой точке траектории потенциальная энергия гиря равна нулю. Тогда всю энергию гиря получает от кинетической энергии. Используя формулу кинетической энергии T = (1/2)mv², где m - масса гири, v - скорость гири, найдем выражение для кинетической энергии гиря в самой низкой точке:

\[T = \frac{1}{2}mv^2\]
\[m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2}m \cdot v^2\]
\[2gh = v^2\]

Так как гиря прикреплена к концу стержня, то скорость гири равна периферийной скорости вращения стержня. То есть v = rω, где r - радиус окружности, по которой движется гиря (длина стержня), ω - угловая скорость вращения стержня. Подставим это выражение в предыдущее уравнение:

\[2gh = (rω)^2\]
\[2gh = r^2 \cdot ω^2\]

Теперь можем найти выражение для силы натяжения стержня. Сила натяжения стержня направлена к центру окружности, по которой движется гиря, и является центростремительной силой. Согласно второму закону Ньютона F = mv²/r, где m - масса гири, v - скорость гири, r - радиус окружности. Подставим это выражение в уравнение для кинетической энергии:

\[2gh = (rω)^2\]
\[2gh = r^2 \cdot ω^2\]
\[2gh = F \cdot r\]
\[F = \frac{2gh}{r}\]

Радиус окружности, по которой движется гиря, равен длине стержня, то есть r = 100 см = 1 метр. Подставим это значение и другие известные значения:

\[F = \frac{2 \cdot 9.8 \cdot h}{1}\]
\[F = 19.6h\]

Таким образом, сила натяжения стержня равна 19.6h, где h - высота подъема гири.

Задача 2:
Для решения данной задачи, мы можем применить закон Гука для вибраций резинового шнура. Закон Гука устанавливает связь между удлинением пружины или шнура и приложенной к нему силой. Формула закона Гука имеет вид F = kΔl, где F - сила, приложенная к шнуру, k - жесткость шнура, Δl - удлинение шнура.

В данной задаче удлинение шнура равно 10 см = 0.1 метра, масса камня m = 40 г = 0.04 кг, а частота вращения шнура равна 60 оборотов в минуту = 60/60 = 1 оборот в секунду. Частота вращения связана с периодом обращения тела по формуле T = 1/f, где T - период обращения, f - частота вращения. То есть T = 1/1 = 1 секунда.

Для нахождения жесткости шнура, нам нужно выразить удлинение шнура через силу и жесткость шнура. Используя формулу F = kΔl, найдем выражение для жесткости:

\[F = k \Delta l\]
\[k = \frac{F}{\Delta l}\]

Сила F определяется центростремительной силой F = mrω², где m - масса камня, r - радиус окружности, по которой движется камень (длина шнура), ω - угловая скорость вращения. Угловая скорость связана с периодом обращения по формуле ω = 2π/T, где T - период.

\[F = m \cdot r \cdot ω^2\]

Подставим известные значения:

\[k = \frac{m \cdot r \cdot ω^2}{\Delta l}\]
\[k = \frac{0.04 \cdot 0.5 \cdot (2π/1)^2}{0.1}\]

Выполним вычисления:

\[k = \frac{0.04 \cdot 0.5 \cdot (2 \cdot 3.14/1)^2}{0.1}\]
\[k = \frac{0.04 \cdot 0.5 \cdot 6.28^2}{0.1}\]
\[k = \frac{0.04 \cdot 0.5 \cdot 39.42}{0.1}\]
\[k = \frac{0.7848}{0.1}\]
\[k ≈ 7.848\]

Таким образом, жесткость резинового шнура равна примерно 7.848 Н/м.