1. Сколько способов можно взять 5 патронов из коробки, где есть 20 патронов, из которых 7 подходят к пистолету

Radio

36

1. Чтобы определить количество способов взять 5 патронов из коробки, где есть 20 патронов, из которых 7 подходят к пистолету Макарова, мы можем использовать комбинаторику. В данном случае, нам требуется выбрать 5 патронов из 7, которые подходят к пистолету Макарова.

Для этого мы можем использовать формулу сочетания. Обозначим количество способов выбрать 5 патронов из 7, которые подходят к пистолету Макарова, как \(C(7, 5)\). Формула сочетания выглядит следующим образом:

\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]

Где \(n\) - общее количество элементов (патронов в коробке), \(k\) - количество элементов, которые мы выбираем (патроны, которые подходят к пистолету Макарова), и \(!\) обозначает факториал числа.

Подставляя значения в формулу, мы получаем:

\[C(7, 5) = \frac{{7!}}{{5! \cdot (7-5)!}} = \frac{{7!}}{{5! \cdot 2!}} = \frac{{7 \cdot 6 \cdot 5!}}{{5! \cdot 2 \cdot 1!}} = \frac{{7 \cdot 6}}{{2 \cdot 1}} = 21\]

Таким образом, существует 21 способ выбрать 5 патронов из коробки.

2. Чтобы определить вероятность того, что при случайном выборе 4 шаров из урны, содержащей 5 белых и 7 черных шаров, будет взято больше черных, чем белых, мы можем использовать комбинаторику и вероятность.

Сначала посчитаем общее количество благоприятных исходов. Для этого нам нужно учесть все комбинации, при которых будет взято больше черных шаров.

Существуют три варианта:
- 3 черных и 1 белый шар
- 4 черных шара

Для первого случая мы можем выбрать 3 черных шара из 7 и 1 белый шар из 5, поэтому количество благоприятных исходов для первого случая равно \(C(7, 3) \cdot C(5, 1)\).

Для второго случая мы можем выбрать 4 черных шара из 7, поэтому количество благоприятных исходов для второго случая равно \(C(7, 4)\).

Теперь посчитаем общее количество возможных исходов. Мы выбираем 4 шара из 12 (5 белых и 7 черных), поэтому общее количество возможных исходов равно \(C(12, 4)\).

Теперь можем определить вероятность события. Она будет равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству возможных исходов:

\[P = \frac{{C(7, 3) \cdot C(5, 1) + C(7, 4)}}{{C(12, 4)}}\]

Вычислим значения:

\[P = \frac{{C(7, 3) \cdot C(5, 1) + C(7, 4)}}{{C(12, 4)}} = \frac{{\frac{{7!}}{{3! \cdot (7-3)!}} \cdot \frac{{5!}}{{1! \cdot (5-1)!}} + \frac{{7!}}{{4! \cdot (7-4)!}}}}{{\frac{{12!}}{{4! \cdot (12-4)!}}}}\]

Упрощая выражение, мы получаем:

\[P = \frac{{\frac{{7!}}{{3! \cdot 4!}} \cdot \frac{{5!}}{{4!}} + \frac{{7!}}{{4! \cdot 3!}}}}{{\frac{{12!}}{{4! \cdot 8!}}}}\]

\[P = \frac{{\frac{{7 \cdot 6 \cdot 5!}}{{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 4!}} \cdot \frac{{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} + \frac{{7 \cdot 6 \cdot 5!}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1)}}}}{{\frac{{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot (8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5! \cdot 4)}}}}\]

\[P = \frac{{7 \cdot 5 + 7 \cdot 6}}{{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}}\]

Вычисляя числитель, мы получаем:

\[P = \frac{{35 + 42}}{{11880}} = \frac{{77}}{{11880}}\]

Таким образом, вероятность того, что из урны будет взято 4 шара, больше черных, чем белых, равна \(\frac{{77}}{{11880}}\) или, в простейшей форме, приближенно 0.0065 (до округления).

3. Чтобы определить вероятность попадания в цель при двух выстрелах, учитывая вероятности попадания при первом и втором выстрелах, а также вероятность промаха при первом выстреле, мы можем использовать формулу условной вероятности.

Пусть \(A\) - попадание в цель при первом выстреле, \(B\) - попадание в цель при втором выстреле. Тогда мы хотим найти вероятность \(P(B|A)\), что означает вероятность попадания при втором выстреле при условии, что было попадание при первом выстреле.

Воспользуемся формулой условной вероятности:

\[P(B|A) = \frac{{P(A \cap B)}}{{P(A)}}\]

Первое, мы знаем, что \(P(A) = 0.4\) - вероятность попадания при первом выстреле.

Второе, из условия, когда было попадание при первом выстреле, вероятность попадания при втором выстреле равна 0.75.

Третье, когда был промах при первом выстреле, вероятность попадания при втором выстреле равна 0.5.

Теперь мы можем вычислить \(P(B|A)\):

\[
P(B|A) = \frac{{P(A \cap B)}}{{P(A)}} = \frac{{0.4 \cdot 0.75}}{{0.4}} = 0.75
\]

Таким образом, вероятность попадания в цель при двух выстрелах равна 0.75.