1. Сконструируйте параллелепипед АВСDА1В1С1D1. Определите вектор, который является суммой векторов АВ, А1D1 и СА1

Радужный_Лист

32

1. Чтобы построить параллелепипед АВСDА1В1С1D1, мы будем использовать следующие шаги:

- Начнем с построения базы параллелепипеда. Нанесем точки A, B, C и D на плоскость так, чтобы они образовывали прямоугольник ABCD.

- Теперь соединим точки A и A1, B и B1, C и C1, а также D и D1 с помощью отрезков. Полученные отрезки АА1, ВВ1, СС1 и DD1 являются ребрами параллелепипеда.

- Находим вектор AB. Для этого находим разность координат точек A и B: \(\vec{AB} = (x_B-x_A, y_B-y_A, z_B-z_A)\).

- Затем находим вектор A1D1. Для этого находим разность координат точек A1 и D1: \(\vec{A1D1} = (x_{D1}-x_{A1}, y_{D1}-y_{A1}, z_{D1}-z_{A1})\).

- Наконец, находим вектор СА1. Для этого находим разность координат точек C и A1: \(\vec{CA1} = (x_{A1}-x_C, y_{A1}-y_C, z_{A1}-z_C)\).

- Объединяем векторы АВ, А1D1 и СА1, складывая их координаты: \(\vec{AB} + \vec{A1D1} + \vec{CA1} = (x_B-x_A, y_B-y_A, z_B-z_A) + (x_{D1}-x_{A1}, y_{D1}-y_{A1}, z_{D1}-z_{A1}) + (x_{A1}-x_C, y_{A1}-y_C, z_{A1}-z_C)\).

- Выполняем соответствующие операции с координатами и получаем итоговый вектор.

2. Преобразуем выражение MN - PQ - NM + PT + RQ в более простую форму.

- Начнем с раскрытия скобок и получим: MN - PQ - NM + PT + RQ = MN + (-PQ) + (-NM) + PT + RQ.

- Обратите внимание на отрицательные знаки перед PQ и NM. Чтобы преобразовать их, мы можем поменять знак каждого из векторов PQ и NM на противоположный, то есть нариcовать векторы QP и MN.

- Теперь выражение станет таким: MN + QP + NM + PT + RQ.

- Заметим, что векторы MN и NM имеют одинаковые значения, но с противоположными знаками. Поэтому можно записать его в виде удвоения вектора MN: 2MN.

- Далее мы можем объединить векторы с одинаковыми направлениями: 2MN + QP + PT + RQ.

- Итоговое преобразованное выражение будет: 2MN + QP + PT + RQ.

Это более простая форма исходного выражения.