Каков периметр четырехугольника QRST, если диагональ прямоугольника MNKL имеет длину

Karamel

53

Для решения этой задачи мы будем использовать свойство прямоугольников, которое гласит: "Диагональ прямоугольника разбивает его на два равных прямоугольных треугольника". Поэтому, если диагональ MN разделяет прямоугольник на треугольники MNR и MNQ, то сторона QR является гипотенузой треугольника MNR, а сторона QT является гипотенузой треугольника MNQ.

Давайте обозначим стороны прямоугольника следующим образом:
- QR - длина стороны QR,
- QT - длина стороны QT,
- MN - длина диагонали MN.

Мы знаем, что сторона QR является гипотенузой треугольника MNR, поэтому мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, чтобы найти её длину. Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов длин катетов треугольника равна квадрату гипотенузы. В нашем случае имеем:

\[QR^2 = MN^2 + QT^2\]

Далее, давайте разберемся со стороной QT. Мы знаем, что сторона QT является гипотенузой треугольника MNQ, поэтому мы можем также воспользоваться теоремой Пифагора, чтобы найти её длину. Отсюда получаем:

\[QT^2 = MN^2 + QR^2\]

Теперь у нас есть два уравнения, в которых участвуют стороны QR, QT и MN:

\[QR^2 = MN^2 + QT^2 \quad \text{(1)}\]
\[QT^2 = MN^2 + QR^2 \quad \text{(2)}\]

Мы можем использовать эти уравнения, чтобы найти значения сторон QR и QT. Для этого сложим уравнения (1) и (2):

\[QR^2 + QT^2 = MN^2 + QT^2 + MN^2 + QR^2\]

QR^2 и QT^2 в правой части уравнения сокращаются:

\[2QR^2 = 2MN^2\]

Разделим обе части уравнения на 2:

\[QR^2 = MN^2\]

Из этого уравнения можно выразить значения сторон QR и QT:

\[QR = MN\]
\[QT = MN\]

Таким образом, сторона QR и сторона QT равны длине диагонали MN.

Теперь, чтобы найти периметр четырехугольника QRST, нужно просуммировать длины всех его сторон:

\[Периметр(QRST) = QR + QR + QT + QT\]

Подставим значения сторон QR и QT:

\[Периметр(QRST) = MN + MN + MN + MN\]

Сокращаем получающиеся слагаемые:

\[Периметр(QRST) = 4 \cdot MN\]

Итак, периметр четырехугольника QRST равен 4 умножить на длину диагонали прямоугольника MNKL, то есть:

\[Периметр(QRST) = 4 \cdot MN\]