1. Solve the following equation by finding the values of x: 1) 5x2 − 10 = 0; 3) x2 + 6x − 7 = 0; 5) x2 − 3x + 1

Золотой_Ключ

22

Хорошо, я помогу вам с этими задачами!

1. Решение уравнений:
1) Для начала, перенесем -10 на другую сторону уравнения: \(5x^2 = 10\). Затем, разделим обе части на 5, чтобы найти значение \(x^2\): \(x^2 = 2\). Наконец, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти значения \(x\): \(x = \pm \sqrt{2}\).
2) Здесь у нас уже есть общий множитель \(x\), поэтому мы можем сократить его: \(x(3x + 4) = 0\). Таким образом, у нас есть два возможных значения для \(x\): \(x = 0\) и \(-\frac{4}{3}\).
3) Применим квадратное уравнение \(x^2 - 3x + 1 = 0\) к формуле дискриминанта. Получим \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5\). Так как \(D > 0\), у нас есть два корня. Применим формулу корней: \(x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}\), что приводит к \(x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\).
4) Здесь у нас уже есть общий множитель 2, поэтому можем сократить его: \(2x^2 + 7x + 2 = 0\). Таким образом, у нас есть два корня: \(x = -1\) и \(x = -\frac{2}{2}\).

2. Создание квадратного уравнения:
У нас есть следующие условия: сумма корней равна 6 и их произведение равно 4. Обозначим корни уравнения как \(x_1\) и \(x_2\). Тогда у нас есть следующие уравнения:
\[
\begin{align*}
x_1 + x_2 &= 6 \\
x_1 \cdot x_2 &= 4
\end{align*}
\]

Чтобы получить уравнение в стандартной форме, мы заметим, что сумма корней похожа на выражение с переменными в квадратном уравнении. Зная это, мы можем записать уравнение, в котором \(x_1\) и \(x_2\) являются корнями:

\((x - x_1)(x - x_2) = 0\)

Используя наши условия, мы можем подставить \(x_1 + x_2 = 6\) и \(x_1 \cdot x_2 = 4\) в это уравнение:

\((x - 2)(x - 2) = 0\)

Упрощая это уравнение, мы получаем:

\(x^2 - 4x + 4 = 0\)

3. Размеры прямоугольника:
Давайте обозначим одну сторону прямоугольника как \(x\). Тогда другая сторона будет \(x + 7\). По условию, площадь прямоугольника равна 44, поэтому у нас есть уравнение:

\(x(x + 7) = 44\)

Раскрывая скобки, мы получаем квадратное уравнение:

\(x^2 + 7x = 44\)

Переносим все на одну сторону и получаем:

\(x^2 + 7x - 44 = 0\)

Теперь мы можем решить это уравнение, факторизуя или используя квадратную формулу. После решения получаем два возможных значения для \(x\): \(x = -11\) и \(x = 4\).

Таким образом, длина одной стороны прямоугольника равна 4 см, а другой - 11 см.

4. Корни и значение b:
Нам известно, что один из корней уравнения \(2x^2 + bx - 6 = 0\) равен -6. Используя это условие, мы можем подставить -6 вместо x в уравнение, чтобы получить:

\(2(-6)^2 + b(-6) - 6 = 0\)

Упрощая это, мы получаем:

\(72 - 6b - 6 = 0\)

После дальнейших преобразований уравнения, мы находим \(b = 13\).

Теперь мы можем найти второй корень, зная что произведение корней равно \(\frac{-c}{a}\). В нашем случае, \(a = 2\) и \(c = -6\). Подставим значения в формулу:

\(x_1 \cdot x_2 = \frac{-c}{a} = \frac{-(-6)}{2} = 3\).

Учитывая, что один корень равен -6, мы можем найти второй корень по формуле для произведения корней:

\(\frac{3}{-6} = -\frac{1}{2}\).

Таким образом, второй корень равен -1/2, а значение b равно 13.

5. Одиночный корень:
У нас есть уравнение \(2x^2 + 4x + a = 0\), и мы хотим найти значение a, при котором у уравнения есть один корень. Уравнение будет иметь один корень, если его дискриминант равен нулю, то есть \(D = b^2 - 4ac = 0\).

Подставим соответствующие значения из уравнения в это выражение:

\(4^2 - 4 \cdot 2 \cdot a = 0\).

Выполняя вычисления, получаем:

\(16 - 8a = 0\).

Дальнейшие преобразования дадут нам:

\(8a = 16\),

\(a = 2\).

Таким образом, при \(a = 2\) у уравнения \(2x^2 + 4x + a = 0\) будет один корень.