Сколько различных комбинаций могут составить Алексей и Денис, если они финишируют друг за другом? Ответ: ${16 choose

Эдуард

48

Для решения этой задачи рассмотрим каждого участника по отдельности.

В данном случае у нас есть два участника: Алексей и Денис. Мы хотим узнать, сколько различных комбинаций могут получиться, если они финишируют друг за другом.

Допустим, у нас есть 16 участников в гонке. Алексей может занять любую из 16 возможных позиций, а Денис может занять одну из оставшихся 15 позиций. Порядок, в котором они финишируют, имеет значение, поэтому мы используем комбинаторный подход.

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для числа сочетаний без повторений:

\[{n \choose k} = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]

где \(n\) - общее число элементов, а \(k\) - количество элементов, которые мы выбираем.

В данной задаче у нас 16 участников, поэтому \(n = 16\). Мы выбираем 2 элемента (Алексей и Денис), поэтому \(k = 2\).

Подставим значения в формулу:

\[{16 \choose 2} = \frac{{16!}}{{2! \cdot (16-2)!}}\]

\[\frac{{16!}}{{2! \cdot 14!}} = \frac{{16 \cdot 15 \cdot 14!}}{{2! \cdot 14!}} = \frac{{16 \cdot 15}}{{2 \cdot 1}} = 120\]

Таким образом, мы получаем 120 различных комбинаций, которые могут получиться, если Алексей и Денис финишируют друг за другом.

Теперь давайте рассмотрим вопрос о порядке, в котором они финишировали, чтобы получить различные комбинации.

Как только Алексей занимает одну из позиций, Денис уже не может занять эту же позицию. Поэтому Алексей может занять одну из 16 позиций, а Денис - одну из 15 оставшихся позиций.

Мы используем ту же формулу числа сочетаний без повторений \({n \choose k}\) для определения количества возможных комбинаций. В данном случае \(n = 16\) и \(k = 2\).

\({16 \choose 2} = 120\)

Следовательно, есть 120 различных комбинаций порядка, в котором Алексей и Денис могли финишировать.

Наконец, рассмотрим условие, когда Илья финишировал, но не был ни первым, ни последним.

Если Илья не был первым и не был последним, то он должен занять одну из возможных позиций внутри группы из 14 участников (т.к. 16 - 2 = 14). Общее количество комбинаций в этом случае также можно вычислить с использованием формулы для числа сочетаний без повторений:

\({14 \choose 1} = 14\)

Таким образом, есть 14 различных способов, которыми Илья мог финишировать, не будучи ни первым, ни последним.

Стоит отметить, что представленные ответы основываются на предположении, что все участники гонки различны и что порядок финиша имеет значение.