1. Точки A и C находятся на равных расстояниях от вершины угла ∡ ABC и BA=BC. Через них проведены перпендикуляры

Margarita

59

Задача 1:

Дано:

\(BA = BC\);

\(AE \perp BD\);

\(CD \perp BE\).

Доказательство:

Поскольку \(BA = BC\), то треугольник \(ABC\) равнобедренный.

Из равенства сторон треугольника следует, что \(\angle BAC = \angle BCA\).

Также \(\angle CAE = \angle CDB\) — вертикальные углы.

Теперь рассмотрим треугольники \(AFD\) и \(CFE\).

У них есть две пары равных углов: \(\angle AFD = \angle CFE\) — прямые углы, и \(\angle ADF = \angle CEF\) — углы накрест лежащие.

Также \(AE = CE\) и \(AD = CF\) — перпендикуляры к основанию равнобедренного треугольника \(ABC\).

Из равенства сторон и углов можно заключить, что треугольники \(AFD\) и \(CFE\) равны.

Задача 2:

Пусть \(\angle CAE = \alpha\).

Тогда, по свойству параллельных прямых, \(\angle AEB = \angle ACE = \alpha\).

Так как \(CD \perp AE\) и \(BE \perp CD\), то \(\angle CDB = \angle AEB = \alpha\).

Из равенства углов треугольников \(CDB\) и \(AEB\) можно заключить, что \(\angle CDB = \angle CBA = \alpha\).