1) Требуется рассчитать математическую функцию для описания формы параболического туннеля, который грузовик должен

Kamen

9

Для описания формы параболического туннеля, через который должен пройти грузовик, мы можем использовать уравнение квадратичной функции.

а) Уравнение квадратичной функции имеет общий вид \(y = ax^2 + bx + c\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты функции.

Для определения уравнения, описывающего форму туннеля, мы должны найти значения этих коэффициентов, исходя из заданных измерений.

Известно, что высота грузовика составляет 5 м. Таким образом, максимальное значение функции равно 5, а значит, вершина параболы будет находиться в точке (0, 5).

Также известно, что ширина грузовика составляет 4 м. Мы можем использовать эту информацию для определения второй точки на параболе. Половина ширины грузовика будет равняться 2 м, поэтому точка (2, 0) будет находиться на графике функции.

Исходя из этих двух точек, мы можем построить уравнение параболы.

Для начала найдем значение коэффициента \(a\). Для этого воспользуемся формулой \(a = \frac{{y_1 - y_0}}{{(x_1 - x_0)^2}}\), где \((x_0, y_0)\) и \((x_1, y_1)\) - координаты двух точек.

Подставим значения точек в формулу и вычислим коэффициент \(a\):

\[a = \frac{{0 - 5}}{{(2 - 0)^2}} = \frac{{-5}}{{4}} = -\frac{{5}}{{4}}\]

Теперь, зная значение коэффициента \(a\), мы можем записать уравнение параболы: \(y = -\frac{{5}}{{4}}x^2 + bx + c\).

Для определения значений оставшихся коэффициентов \(b\) и \(c\) воспользуемся известными точками (0, 5) и (2, 0).

Подставим первую точку в уравнение и получим:

\[5 = -\frac{{5}}{{4}} \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c\]

Учитывая, что \(0^2 = 0\) и \(0 \cdot b = 0\), упростим уравнение:

\[5 = c\]

Таким образом, \(c = 5\).

Теперь подставим вторую точку в уравнение и получим:

\[0 = -\frac{{5}}{{4}} \cdot 2^2 + b \cdot 2 + 5\]

Упростим это уравнение:

\[0 = -\frac{{20}}{{4}} + 2b + 5\]
\[0 = -5 + 2b + 5\]
\[0 = 2b\]

Отсюда следует, что \(b = 0\).

Таким образом, уравнение квадратичной функции, описывающей форму параболического туннеля, будет:

\[y = -\frac{{5}}{{4}}x^2 + 5\].

б) Чтобы выяснить, пройдет ли грузовик через данный туннель, необходимо проверить, находится ли весь контур грузовика (включая высоту и ширину) внутри параболы.

Максимальная высота грузовика составляет 5 м. Для того чтобы проверить, проходит ли он через туннель, нужно установить, что для всех значений координат \(x\) от -2 до 2 высота параболы больше или равна 5.

Подставим значения \(x\) от -2 до 2 в уравнение параболы и проанализируем результаты:

Для \(x = -2\):

\[y = -\frac{{5}}{{4}} \cdot (-2)^2 + 5 = 0\]

Так как 0 не больше 5, грузовик не проходит через туннель в этой точке.

Для \(x = -1\):

\[y = -\frac{{5}}{{4}} \cdot (-1)^2 + 5 = \frac{{15}}{{4}}\]

Так как \(\frac{{15}}{{4}}\) не больше 5, грузовик не проходит через туннель в этой точке.

Для \(x = 0\):

\[y = -\frac{{5}}{{4}} \cdot 0^2 + 5 = 5\]

Так как 5 равно 5, грузовик может проходить через туннель в этой точке.

Для \(x = 1\):

\[y = -\frac{{5}}{{4}} \cdot 1^2 + 5 = \frac{{15}}{{4}}\]

Так как \(\frac{{15}}{{4}}\) не больше 5, грузовик не проходит через туннель в этой точке.

Для \(x = 2\):

\[y = -\frac{{5}}{{4}} \cdot 2^2 + 5 = 0\]

Так как 0 не больше 5, грузовик не проходит через туннель в этой точке.

Таким образом, грузовик проходит через этот туннель только при \(x = 0\), когда высота параболы равна 5 метрам. Во всех остальных точках туннель не подходит для проезда грузовика.