1. В первом возбужденном состоянии энергия атома водорода равна -3 эВ. Какое количество оборотов электрон совершит

Muravey

15

Задача 1. Для решения этой задачи нам необходимо воспользоваться формулой Ридберга для энергии уровней атома водорода:

\[E_n = -\frac{{13.6 \, \text{{эВ}}}}{{n^2}}\]

где \(E_n\) - энергия n-го уровня, \(n\) - главное квантовое число атома водорода. В данной задаче нам известно, что энергия в первом возбужденном состоянии равна -3 эВ. Подставляя это значение в формулу, мы можем выразить \(n\) и найти первое возбужденное состояние:

\[-3 = -\frac{{13.6}}{{n^2}}\]

Решая это уравнение, получаем:

\[n^2 = \frac{{13.6}}{{3}}\]

\[n^2 = 4.53\]

\[n = \sqrt{4.53}\]

\[n \approx 2.13\]

Так как главное квантовое число \(n\) должно быть целым числом, округлим его до ближайшего целого числа:

\[n \approx 2\]

Таким образом, на первой орбите электрон совершит 2 оборота за время средней продолжительности жизни, равное \(10^{-8}\) секунд.

Задача 2. Чтобы найти длины волн, соответствующие переходу электрона из стационарного состояния в наименее энергетическое состояние, мы можем использовать формулу Бальмера:

\[\frac{1}{\lambda} = R \left(\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}\right)\]

где \(\lambda\) - длина волны, \(R\) - постоянная Ридберга (\(1.097 \times 10^7\) 1/м), \(n_1\) и \(n_2\) - главные квантовые числа для начального и конечного состояний соответственно.

Для первой спектральной линии с длиной волны 102,57 нм:
\[\frac{1}{\lambda_1} = R \left(\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}\right)\]
Подставим известные значения и найдем \(n_2\):
\[\frac{1}{102,57 \times 10^{-9}} = 1.097 \times 10^7 \left(\frac{1}{1^2} - \frac{1}{n_2^2}\right)\]
Выразим \(n_2\):
\[\frac{1}{n_2^2} = \frac{1}{1} - \frac{1}{102,57 \times 10^{-9} \times 1.097 \times 10^7}\]
\[n_2^2 = \frac{1}{\frac{1}{1} - \frac{1}{102,57 \times 10^{-9} \times 1.097 \times 10^7}}\]
\[n_2^2 \approx 3.04133 \times 10^{14}\]
\[n_2 \approx \sqrt{3.04133 \times 10^{14}}\]
\[n_2 \approx 5.51\]

Теперь рассмотрим вторую спектральную линию с длиной волны 121,57 нм:
\[\frac{1}{\lambda_2} = R \left(\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}\right)\]
Подставим известные значения и найдем \(n_2\):
\[\frac{1}{121,57 \times 10^{-9}} = 1.097 \times 10^7 \left(\frac{1}{1^2} - \frac{1}{n_2^2}\right)\]
Выразим \(n_2\):
\[\frac{1}{n_2^2} = \frac{1}{1} - \frac{1}{121,57 \times 10^{-9} \times 1.097 \times 10^7}\]
\[n_2^2 = \frac{1}{\frac{1}{1} - \frac{1}{121,57 \times 10^{-9} \times 1.097 \times 10^7}}\]
\[n_2^2 \approx 1.212 \times 10^{15}\]
\[n_2 \approx \sqrt{1.212 \times 10^{15}}\]
\[n_2 \approx 1.10\]

Таким образом, при переходе электрона из стационарного состояния в наименее энергетическое состояние, первой спектральной линии соответствует длина волны около 656,3 нм, а второй спектральной линии - около 486,1 нм.