1. В прямоугольном треугольнике с углом С равным 30° и углом О равным 90°, найдите длину гипотенузы, если длина катета

Arbuz

6

Задача 1. В прямоугольном треугольнике с углом С равным 30° и углом О равным 90°, найдите длину гипотенузы, если длина катета ОК равна 7,6 см.

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему Пифагора, которая гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин двух катетов.

В данной задаче один из катетов уже известен - это ОК, равная 7,6 см. Обозначим гипотенузу как Г и второй катет как АК (по условию прямоугольного треугольника).

Применим теорему Пифагора:
\[Г^2 = ОК^2 + АК^2\]

Учитывая, что у нас прямоугольный треугольник, угол О равен 90°. Таким образом, АК является вторым катетом, а СГ - гипотенузой. Из геометрических свойств прямоугольных треугольников следует, что АК и ОК являются противоположными катетами. Это означает, что длина АК равна длине ОК.

Подставим известные значения:
\[Г^2 = 7,6^2 + 7,6^2\]

Вычислим:
\[Г^2 = 57,76 + 57,76\]
\[Г^2 = 115,52\]

Чтобы найти длину гипотенузы Г, возьмем квадратный корень из обеих сторон:
\[Г = \sqrt{115,52}\]

Приближенно:
\[Г \approx 10,75\]

Таким образом, длина гипотенузы Г прямоугольного треугольника равна примерно 10,75 см.

Задача 2. В равнобедренном треугольнике с углом при вершине, равным 120°, и высотой, проведенной к боковой стороне, равной 11 см, найдите длину основания этого треугольника.

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать геометрические свойства равнобедренных треугольников.

В равнобедренном треугольнике угол при вершине и два боковых угла равны между собой. По условию задачи угол при вершине равен 120°, значит, два боковых угла также равны 120° каждый.

Высота проведена к боковой стороне треугольника, которая разделяет его на два равнобедренных треугольника. Заметим, что у нас есть прямоугольный треугольник, в котором высота является одним из катетов, а основание - другим катетом.

Обозначим высоту как В, а основание - как О. Также обозначим половину основания как О1, тогда у нас будет равенство между сторонами треугольника:
Найдем значение О1 через тангенс угла при вершине:
\[tan(60) = \frac{В}{О1}\]

Подставим известное значение высоты:
\[tan(60) = \frac{11}{О1}\]

Выразим О1:
\[О1 = \frac{11}{tan(60)}\]
\[О1 = 11 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\]
\[О1 = \frac{11}{\sqrt{3}}\]

Учитывая, что О1 - это половина основания, значит, основание О будет равно удвоенному значению О1:
\[О = 2 \cdot \frac{11}{\sqrt{3}}\]
\[О = \frac{22}{\sqrt{3}}\]

Для удобства, можно умножить числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\), чтобы убрать знаменатель под корнем:
\[О = \frac{22}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\]
\[О = \frac{22\sqrt{3}}{3}\]

Таким образом, длина основания О равнобедренного треугольника составляет \(\frac{22\sqrt{3}}{3}\) см.

Задача 3. В прямоугольном треугольнике, один из углов которого равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 15 см, найдите длину гипотенузы.

Дан: угол равен 60° и сумма гипотенузы и меньшего катета равна 15 см. Обозначим гипотенузу как Г, а меньший катет как МК (по условию прямоугольного треугольника).

В прямоугольном треугольнике с углом 60°, два других угла равны 90° и 30°. Из геометрических свойств прямоугольных треугольников мы знаем, что 60°-90°-30° является стандартной комбинацией углов для равностороннего треугольника.

Зная, что 60°-90°-30° является стандартной комбинацией углов для равностороннего треугольника, можем сделать предположение, что гипотенуза и больший катет равны между собой. Тогда сумма гипотенузы и меньшего катета будет равна удвоенной длине гипотенузы.

Предположим, что длина гипотенузы равна Х, тогда у нас будет уравнение:
\[Х + МК = 15\]

Также у нас есть уравнение, которое связывает гипотенузу с меньшим катетом в равностороннем треугольнике:
\[Г = МК\]

Подставим значение Г в первое уравнение:
\[МК + МК = 15\]
\[2МК = 15\]

Разделим обе части на 2:
\[МК = \frac{15}{2}\]
\[МК = 7,5\]

Таким образом, длина меньшего катета МК равна 7,5 см.

Поскольку гипотенуза равна меньшему катету, для нахождения длины гипотенузы нам нужно просто знать длину меньшего катета МК:
\[Г = МК = 7,5\]

Таким образом, длина гипотенузы Г прямоугольного треугольника равна 7,5 см.