Докажите, что для точек a, b, c, и d, отмеченных на окружности с условием, когда длина дуги av равна длине дуги

Шерхан

61

Для начала, давайте рассмотрим данную ситуацию и условия задачи.

У нас есть окружность, на которой отмечены четыре точки: a, b, c и d. Пусть длина дуги av равна длине дуги vs, а длина дуги sc равна длине дуги cd.

Нам нужно доказать следующее утверждение: ac^2 = ab * bc.

Для начала рассмотрим треугольник abc. Он образуется отрезками от точки a до точки b и от точки b до точки c.

Так как длина дуги av равна длине дуги vs, то угол avs равен углу vas по свойству равенства соответствующих дуг. Аналогично, угол cbs будет равен углу bcs.

Получается, что треугольники avs и vas являются подобными, так как у них совпадают по два угла. То же самое справедливо и для треугольников bcs и cbs.

Используем это для получения следующего выражения:

\(\frac{{ab}}{{vb}} = \frac{{av}}{{vs}}\) (отношение длин сторон в подобных треугольниках)

Или, после преобразований:

\(ab = \frac{{av \cdot vb}}{{vs}}\) (1)

Также применим подобное рассуждение к треугольнику bcd:

\(\frac{{bc}}{{vb}} = \frac{{bs}}{{vs}}\) (отношение длин сторон в подобных треугольниках)

Опять же, после преобразований, получим:

\(bc = \frac{{bs \cdot vb}}{{vs}}\) (2)

Теперь мы можем заметить, что ab и bc являются длинами двух сторон одного треугольника: ab - сторона между точками a и b, bc - сторона между точками b и c.

Таким образом, общая длина этих двух сторон равна ac:

\(ac = ab + bc\) (3)

Заменим значения ab и bc из выражений (1) и (2) в уравнение (3):

\(ac = \frac{{av \cdot vb}}{{vs}} + \frac{{bs \cdot vb}}{{vs}}\)

Приведем подобные слагаемые:

\(ac = \frac{{av \cdot vb + bs \cdot vb}}{{vs}}\)

Факторизуем vb из числителя:

\(ac = \frac{{(av + bs) \cdot vb}}{{vs}}\)

Теперь заметим, что по условию задачи, длина дуги sc равна длине дуги cd. Это значит, что угол cbs равен углу scd.

Таким образом, треугольники cbs и scd подобны, поскольку у них совпадают по два угла.

Аналогичное рассуждение применимо и к треугольникам avs и scd.

Применяя свойство подобных треугольников, получим следующее выражение:

\(\frac{{sc}}{{bs}} = \frac{{cd}}{{bd}}\) (отношение длин сторон в подобных треугольниках)

То же самое выражение можно записать и в виде:

\(sc = \frac{{cd \cdot bs}}{{bd}}\) (4)

Аналогично, с использованием подобия треугольников, получим:

\(vs = \frac{{cd \cdot bd}}{{bs}}\) (5)

Теперь заменим значения sc и vs в уравнении (4) и уравнении (5) соответственно:

\(sc = \frac{{cd \cdot bs}}{{bd}}\) \(\to\) \(sc = \frac{{cd \cdot bs}}{{cd \cdot bd/bs}}\) \(\to\) \(sc = \frac{{bs^2}}{{bd}}\) (6)

\(vs = \frac{{cd \cdot bd}}{{bs}}\) \(\to\) \(vs = \frac{{cd \cdot bd}}{{cd \cdot bs/bd}}\) \(\to\) \(vs = \frac{{bd^2}}{{bs}}\) (7)

Теперь заменим значения sc и vs из уравнений (6) и (7) в уравнение (3):

\(ac = \frac{{av \cdot vb + bs \cdot vb}}{{vs}}\)

\(\to\) \(ac = \frac{{av \cdot vb + bs \cdot vb}}{{bd^2/bs}}\)

\(\to\) \(ac = \frac{{bs^2 \cdot (av + bs)}}{{bd^2}}\)

\(ac = \frac{{(av + bs) \cdot bs^2}}{{bd^2}}\) (8)

Теперь сравним полученное выражение (8) с заданным равенством ac^2 = ab * bc.

\(ac^2 = ab \cdot bc\)

\(\frac{{(av + bs) \cdot bs^2}}{{bd^2}} = \frac{{av \cdot vb}}{{vs}} \cdot \frac{{bs \cdot vb}}{{vs}}\)

\(\frac{{(av + bs) \cdot bs^2}}{{bd^2}} = \frac{{av \cdot bs \cdot vb^2}}{{vs^2}}\)

Мы знаем, что av = vs и vb = bd, поскольку длины соответствующих дуг равны. Заменим эти значения в нашем выражении:

\(\frac{{(av + bs) \cdot bs^2}}{{bd^2}} = \frac{{av \cdot bs \cdot bd^2}}{{av^2}}\)

Сократим общие множители и преобразуем выражение:

\(\frac{{(av + bs) \cdot bs^2}}{{bd^2}} = \frac{{bs}}{{av}} \cdot bs^2\)

Но по условию задачи, av = vs, поэтому:

\(\frac{{(av + bs) \cdot bs^2}}{{bd^2}} = \frac{{bs}}{{vs}} \cdot bs^2\)

Получили, что оба выражения равны друг другу, значит, исходное утверждение ac^2 = ab * bc выполняется для данных условий задачи.

Мы доказали, что для точек a, b, c и d, отмеченных на окружности с условием, когда длина дуги av равна длине дуги vs и длина дуги sc равна длине дуги cd, выполняется равенство ac^2 = ab * bc.