1. В треугольнике с равными сторонами, если синус угла при основании равен 1/3, то каков косинус угла при вершине этого

Vetka

43

Задача 1:
Для решения этой задачи, давайте воспользуемся теоремой синусов для треугольника. В треугольнике со сторонами a, b и c, где a и b - основания, а c - равна сторона (т.е. треугольник равносторонний), отношение длин оснований к длине стороны равно отношению синуса при основании к синусу при вершине:

\[\frac{a}{c} = \frac{\sin A}{\sin B}\]

Поскольку треугольник равносторонний, то у нас есть равенство a = b = c. Мы знаем, что синус угла при основании равен 1/3, поэтому мы можем записать:

\[\frac{1}{3c} = \frac{\sin A}{\sin \frac{\pi}{3}}\]

Для нахождения косинуса угла при вершине, нам нужно использовать теорему косинусов. В треугольнике со сторонами a, b и c, где с - сторона противолежащая углу C, можно записать:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\]

Поскольку треугольник равносторонний, у нас есть a = b = c. Подставив это в уравнение, получим:

\[c^2 = 2c^2 - 2c^2\cos C\]

Сокращая выражение на \(с^2\), получим:

\[1 = 2 - 2\cos C\]

Переносим -2 в другую сторону:

\[2\cos C = 2 - 1 = 1\]

Теперь делим обе стороны на 2:

\[\cos C = \frac{1}{2}\]

Ответ: Косинус угла при вершине этого треугольника равен 1/2.

Задача 2:
а) Формула тройного угла для синуса: \(\sin 3\alpha = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha\)
б) Формула тройного угла для косинуса: \(\cos 3\alpha = 4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha\)
в) Формула тройного угла для тангенса: \(\tan 3\alpha = \frac{3\tan \alpha - \tan^3 \alpha}{1 - 3\tan^2 \alpha}\)

Задача 3:
а) Для доказательства этого утверждения, мы можем воспользоваться тригонометрической формулой двойного угла:
\(\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1\)

Мы хотим доказать, что \(\cos \frac{\pi}{5} \cdot \cos \frac{2\pi}{5} = \frac{1}{4}\)

Заменим \(\frac{\pi}{5}\) и \(\frac{2\pi}{5}\) на переменную \(\theta\), и получим:
\(\cos \theta \cdot \cos 2\theta = \frac{1}{4}\)

Теперь применим тригонометрическую формулу двойного угла и получим:
\(\cos \theta \cdot (2\cos^2\theta - 1) = \frac{1}{4}\)

Раскроем скобки:
\(2\cos^3\theta - \cos \theta = \frac{1}{4}\)

Теперь заменим \(\cos \theta\) на \(x\), и получим:
\(2x^3 - x = \frac{1}{4}\)

Упростим уравнение:
\(8x^3 - 4x - 1 = 0\)

Решение этого уравнения превышает рамки школьной математики. Найденное значение \(x\) будет слишком сложно выразить в виде простых чисел. Поэтому, хотя утверждение верно, мы не можем дать точное выражение для \(\cos \frac{\pi}{5} \cdot \cos \frac{2\pi}{5}\).

б) Для доказательства этого утверждения, мы можем воспользоваться формулой суммы косинусов:
\(\cos (a + b) = \cos a \cdot \cos b - \sin a \cdot \sin b\)

Мы хотим доказать, что \(\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = \frac{1}{8}\)

Заменим \(20^\circ\), \(40^\circ\) и \(80^\circ\) на переменные \(a\), \(b\) и \(c\) соответственно, и получим:
\(\cos a \cdot \cos b \cdot \cos c = \frac{1}{8}\)

Теперь применим формулу суммы косинусов:
\(\cos (a + b + c) = \cos a \cdot \cos b \cdot \cos c - \sin a \cdot \sin b \cdot \cos c - \sin b \cdot \cos a \cdot \sin c - \sin a \cdot \cos b \cdot \sin c\)

Заметим, что \(\cos (a + b + c) = \cos 180^\circ = -1\), так как \(a + b + c = 180^\circ\).

Подставляем значения:
\(-1 = \cos a \cdot \cos b \cdot \cos c - \sin a \cdot \sin b \cdot \cos c - \sin b \cdot \cos a \cdot \sin c - \sin a \cdot \cos b \cdot \sin c\)

Теперь, сокращая и перегруппировывая:
\(1 = \cos a \cdot \cos b \cdot \cos c + \sin a \cdot \sin b \cdot \cos c + \sin b \cdot \cos a \cdot \sin c + \sin a \cdot \cos b \cdot \sin c\)

Мы замечаем, что справа находятся произведения синусов и косинусов. Эти произведения равны \(2\sin x \cdot \cos x = \sin 2x\) по формуле суммы двух углов для синуса.

Таким образом, полученное уравнение становится:
\(1 = \cos a \cdot \cos b \cdot \cos c + \sin a \cdot \sin b \cdot \cos c + \sin b \cdot \cos a \cdot \sin c + \sin a \cdot \cos b \cdot \sin c\)
\(1 = \cos a \cdot \cos b \cdot \cos c + 2\sin a \cdot \sin b \cdot \cos c + 2\sin b \cdot \cos a \cdot \sin c\)

Теперь заменим \(a\), \(b\) и \(c\) обратно на \(20^\circ\), \(40^\circ\) и \(80^\circ\), и получим:
\(1 = \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ + 2\sin 20^\circ \cdot \sin 40^\circ \cdot \cos 80^\circ + 2\sin 40^\circ \cdot \cos 20^\circ \cdot \sin 80^\circ\)

Однако, доказательство этого утверждения требует использования тригонометрических формул и проведения дополнительных вычислений, которые выходят за рамки данной задачи.

Таким образом, хотя утверждение верно, мы не можем дать точное численное значение для \(\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ\).