1 вариант 1. Какова сумма |DC|+|CE|, если известны координаты точек D(2;-3;-1), C(5; -3; -4), E (3; -1; -4)? 2. Если

Дождь

24

Хорошо, давайте решим каждую задачу по очереди:

1. Для начала нам нужно найти длину отрезка DC и длину отрезка CE, чтобы вычислить их сумму. Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве.


Длина отрезка DC:

\[|DC| = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}}\]

Подставим координаты точек D и C в формулу:

\[|DC| = \sqrt{{(5 - 2)^2 + (-3 - (-3))^2 + (-4 - (-1))^2}}\]

\[|DC| = \sqrt{{3^2 + 0^2 + (-3)^2}}\]

\[|DC| = \sqrt{{9 + 0 + 9}}\]

\[|DC| = \sqrt{{18}}\]

\[|DC| = \sqrt{{2 \cdot 3^2}}\]

\[|DC| = 3\sqrt{{2}}\]

Длина отрезка CE:

\[|CE| = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}}\]

Подставим координаты точек C и E в формулу:

\[|CE| = \sqrt{{(3 - 5)^2 + (-1 - (-3))^2 + (-4 - (-4))^2}}\]

\[|CE| = \sqrt{{(-2)^2 + 2^2 + 0^2}}\]

\[|CE| = \sqrt{{4 + 4}}\]

\[|CE| = \sqrt{{8}}\]

\[|CE| = \sqrt{{2 \cdot 4}}\]

\[|CE| = 2\sqrt{{2}}\]

Теперь сложим длины отрезков DC и CE:

\[|DC| + |CE| = 3\sqrt{{2}} + 2\sqrt{{2}}\]

\[|DC| + |CE| = 5\sqrt{{2}}\]

Таким образом, сумма |DC| + |CE| равна 5\(\sqrt{2}\).


2. Чтобы найти координаты точки А, нам нужно использовать свойство середины отрезка, которое гласит, что координаты середины отрезка равны средним значениям соответствующих координат концов отрезка.

Для начала найдем координаты середины отрезка AH, используя координаты точек E и H:

\[x_{mid} = \frac{{x_E + x_H}}{2}\]
\[y_{mid} = \frac{{y_E + y_H}}{2}\]
\[z_{mid} = \frac{{z_E + z_H}}{2}\]

Подставим известные значения:

\[x_{mid} = \frac{{-6 + x_H}}{2}\]
\[y_{mid} = \frac{{5 + y_H}}{2}\]
\[z_{mid} = \frac{{0 + z_H}}{2}\]

Заметим, что точка E является серединой отрезка AH. Следовательно, координаты точки А равны координатам точки E:

\[x_A = -6\]
\[y_A = 5\]
\[z_A = 0\]

Таким образом, координаты точки А равны (-6, 5, 0).


3. Чтобы найти периметр треугольника ABC, нам нужно найти длины всех трех сторон треугольника, а затем сложить их.


Длина стороны AB:

\[|AB| = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}}\]

Подставим координаты точек A и B в формулу:

\[|AB| = \sqrt{{(2 - 6)^2 + (1 - 0)^2 + (2\sqrt{{2}} - 0)^2}}\]

\[|AB| = \sqrt{{(-4)^2 + 1^2 + (2\sqrt{{2}})^2}}\]

\[|AB| = \sqrt{{16 + 1 + 8}}\]

\[|AB| = \sqrt{{25}}\]

\[|AB| = 5\]

Длина стороны BC:

\[|BC| = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}}\]

Подставим координаты точек B и C в формулу:

\[|BC| = \sqrt{{(1 - 2)^2 + (1 - 1)^2 + (0 - 0)^2}}\]

\[|BC| = \sqrt{{(-1)^2 + 0^2 + 0^2}}\]

\[|BC| = \sqrt{{1 + 0 + 0}}\]

\[|BC| = \sqrt{{1}}\]

\[|BC| = 1\]

Длина стороны CA:

\[|CA| = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}}\]

Подставим координаты точек C и A в формулу:

\[|CA| = \sqrt{{(6 - 1)^2 + (0 - 1)^2 + (0 - 0)^2}}\]

\[|CA| = \sqrt{{(5)^2 + (-1)^2 + (0)^2}}\]

\[|CA| = \sqrt{{25 + 1}}\]

\[|CA| = \sqrt{{26}}\]

Теперь сложим длины сторон треугольника ABC:

Периметр треугольника ABC:

\[P = |AB| + |BC| + |CA|\]

\[P = 5 + 1 + \sqrt{{26}}\]

\[P = 6 + \sqrt{{26}}\]

Таким образом, периметр треугольника ABC равен 6 + \(\sqrt{{26}}\).