1. Відображення: Точки D, E, F та K є серединами ребер AB, MB, MC та AC тетраедра MABC відповідно, BC = 42 см, AM

Ярд

67

Для доведення, що точки D, E, F та K є вершинами паралелограма, ми можемо використати властивості серединного перпендикуляра в трикутнику.

Позначимо середини сторін AB і AC як P і Q відповідно. Також, позначимо середину сторони BC як R.

Оскільки D - середина сторони AB, то DP = PB. Але оскільки P - середина сторони AC, то PD || AC. Тому DPC - паралелограм.

Аналогічно, ми можемо показати, що R - середина сторони BC, EF - середина сторони MB, та K - середина сторони MC. Тому RKE і EFK - паралелограми.

Тепер нам потрібно знайти периметр паралелограма.

Оскільки AM - діагональ паралелограма, то AM ділить паралелограм на два трикутники. Ми можемо використати теорему Піфагора в трикутнику AMB, щоб знайти сторону AB:

\[AB^2 = AM^2 - MB^2\]
\[AB^2 = 36^2 - \left(\frac{BC}{2}\right)^2\]
\[AB^2 = 36^2 - 21^2\]
\[AB^2 = 1296 - 441\]
\[AB^2 = 855\]
\[AB = \sqrt{855}\]

Оскільки D - середина AB, то як і у попередньому випадку DP = PB = \(\frac{AB}{2}\).

Тому, \[DP = \frac{\sqrt{855}}{2}\]

Тепер ми можемо знайти периметр паралелограма:

\[AB = \sqrt{855}\]
\[BC = 42\]
\[CD = DP = \frac{\sqrt{855}}{2}\]
\[DA = AC = \sqrt{855}\]

Периметр P паралелограма:
\[P = AB + BC + CD + DA = \sqrt{855} + 42 + \frac{\sqrt{855}}{2} + \sqrt{855}\]