1. Во сколько раз меньше площадь поверхности второго шара по сравнению с площадью поверхности первого шара, если радиус

Ярус

60

Давайте решим первую задачу. У нас есть два шара - первый и второй. Радиус первого шара в 5 раз больше радиуса второго шара. Пусть радиус первого шара равен \(R\), а радиус второго шара равен \(r\).

Мы знаем, что площадь поверхности шара равна \(4\pi R^2\). Для первого шара площадь поверхности будет \(4\pi R^2\) и для второго шара площадь поверхности будет \(4\pi r^2\).

Теперь нам нужно найти во сколько раз меньше площадь поверхности второго шара по сравнению с площадью поверхности первого шара. Для этого разделим площадь поверхности первого шара на площадь поверхности второго шара:

\[
\frac{{4\pi R^2}}{{4\pi r^2}}
\]

Мы можем сократить коэффициент \(\pi\) и получим:

\[
\frac{{R^2}}{{r^2}}
\]

Так как радиус первого шара в 5 раз больше радиуса второго шара, мы можем заменить \(R\) на \(5r\):

\[
\frac{{(5r)^2}}{{r^2}}
\]

Упростим эту дробь:

\[
\frac{{25r^2}}{{r^2}}
\]

Благодаря сокращению \(r^2\), получим конечный результат:

\[
25
\]

Итак, площадь поверхности второго шара в \textbf{25 раз меньше} площади поверхности первого шара.

Теперь перейдем ко второй задаче. Нам нужно найти объем большого шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей поверхностей двух шаров радиуса \(r\).

Площадь поверхности одного шара равна \(4\pi r^2\), поэтому площадь поверхности двух таких шаров будет \(2 \cdot 4\pi r^2\), или \(8\pi r^2\).

Мы знаем, что площадь поверхности большого шара равна этому значению. Площадь поверхности большого шара равна \(4\pi R^2\), где \(R\) - радиус большого шара.

Поэтому у нас есть уравнение:

\[8\pi r^2 = 4\pi R^2\]

Мы можем сократить коэффициент \(\pi\) и получим:

\[8r^2 = 4R^2\]

Теперь, разделим оба выражения на 4:

\[2r^2 = R^2\]

Чтобы найти объем большого шара, нам нужно найти \(R\), а затем использовать формулу для объема шара: \(V = \frac{4}{3}\pi R^3\).

Для этого возьмем корень обоих частей уравнения:

\[\sqrt{2r^2} = \sqrt{R^2}\]

Упростим это:

\[\sqrt{2}r = R\]

Теперь, подставим найденное значение \(R\) в формулу для объема:

\[V = \frac{4}{3}\pi (\sqrt{2}r)^3\]

Поднимем в куб скобку:

\[V = \frac{4}{3}\pi\sqrt{2}^3 r^3 = \frac{4}{3}\pi\sqrt{8} r^3 = \frac{4}{3}\pi 2\sqrt{2} r^3 = \frac{8}{3}\pi\sqrt{2} r^3\]

Итак, объем большого шара равен \(\frac{8}{3}\pi\sqrt{2} r^3\).

Вот так мы можем решить эти две задачи с подробными пояснениями и пошаговыми решениями. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.