1. Возьмем во внимание только восьмизначные числа, в которых все цифры различны. Сколько из них делятся на 3? 2. Костя

Григорьевич

56

1. Чтобы решить эту задачу, нам необходимо определить количество восьмизначных чисел, в которых все цифры различны, и делящихся на 3. Для начала посмотрим на восьмизначные числа, в которых все цифры различны.

Восьмизначное число может начинаться только с цифры от 1 до 9, так как ноль не может быть первой цифрой числа. Также, каждая последующая цифра должна быть отлична от предыдущих, иначе число не будет удовлетворять условию задачи.

Найдем количество вариантов выбора для каждой позиции:

- Для первой позиции у нас есть 9 возможностей (от 1 до 9).
- Для второй позиции у нас остается 9 возможностей (любая цифра, кроме выбранной на первую позицию).
- Аналогично, для третьей позиции у нас остается 8 возможностей.
- Для четвертой позиции - 7 возможностей.
- Для пятой позиции - 6 возможностей.
- Для шестой позиции - 5 возможностей.
- Для седьмой позиции - 4 возможности.
- Для восьмой позиции - 3 возможности.

Теперь мы можем рассчитать общее количество восьмизначных чисел, в которых все цифры различны:

\[9 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3\].

Теперь нам нужно выяснить, сколько из этих чисел делятся на 3. Чтобы число делилось на 3, сумма его цифр должна быть кратна 3. Мы можем рассмотреть два случая:

- Когда сумма цифр числа равна 3.
- Когда сумма цифр числа равна 6.

В первом случае мы можем выбрать 3 цифры из 8 возможных (количество способов выбора), их порядок не важен, поэтому мы должны использовать комбинаторику. Общее количество способов выбора 3 цифр из 8:

\[\binom{8}{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56\].

Во втором случае, когда сумма цифр числа равна 6, мы также можем выбрать 3 цифры из 8:

\[\binom{8}{3} = 56\].

Тогда общее количество чисел, которые делятся на 3, равно:

\[56 + 56 = 112\].

2. Чтобы решить эту задачу, мы должны найти количество шагов, сделанных Юрой.

Пусть \(x\) - количество шагов, сделанных Юрой.
Зная, что во время того, как Слава делает 3 шага, Юра делает 4 шага, и во время того, как Юра делает 3 шага, Костя делает 5 шагов, мы можем записать следующее уравнение:

Слава : Юра : Костя = 3 : 4 : 5.

Так как общее количество шагов, сделанных ими всеми, составляет 2460, мы можем записать следующее уравнение на основе пропорции:

\(3x + 4x + 5x = 2460\).

Складывая коэффициенты при \(x\), мы получаем:

\(12x = 2460\).

Решая это уравнение, мы делим обе стороны на 12:

\(x = \frac{2460}{12}\).

Вычисляя это, получаем:

\[x = 205\].

Таким образом, Юра сделал 205 шагов.