У трикутника АВС продовженням сторони АС є точка D, при цьому кут ADB дорівнює 30°. Знайти радіус кола, описаного

Skorpion

2

Давайте решим эту задачу пошагово.

1. Нам дан треугольник ABC, в котором продолжением стороны AC является точка D. У нас имеются два треугольника: ABD и ABC. Мы хотим найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABD.

2. Обратимся к треугольнику ABC. Известно, что угол ACB равен 45°, а радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC, равен r (пусть это и будет неизвестной величиной).

3. Так как окружность описана вокруг треугольника ABC, то AB и BC являются радиусами этой окружности.

4. Обратимся теперь к треугольнику ABD. У нас уже есть угол ADB, который равен 30°. Нам необходимо найти радиус окружности, описанной вокруг этого треугольника. Обозначим этот радиус как R.

5. Так как AD и BD являются радиусами окружности, описанной вокруг треугольника ABD, то нам нужно найти величину R.

6. Заметим, что угол ACB и угол ADB являются соответственными углами. Поэтому их меры будут равны: ADB = ACB = 45°.

7. Кроме того, известно, что углы треугольника в сумме дают 180°. Так как угол ADB равен 30°, то угол ABD будет равен 180° - 45° - 30° = 105°.

8. Теперь мы можем использовать теорему синусов для треугольника ABD: \(\frac{AD}{\sin ABD} = \frac{BD}{\sin ADB}\).
Подставим известные значения: \(\frac{AD}{\sin 105^\circ} = \frac{BD}{\sin 30^\circ}\).
Отсюда получаем: \(\frac{AD}{\sin 105^\circ} = \frac{BD}{\frac{1}{2}}\).

9. Заметим, что \(\sin 105^\circ = \sin (180^\circ - 75^\circ) = \sin 75^\circ\).
Поэтому у нас получается следующее уравнение: \(\frac{AD}{\sin 75^\circ} = 2BD\).

10. Рассмотрим треугольник ABC. Используя снова теорему синусов, получаем: \(\frac{AC}{\sin BAC} = 2r\).
Подставляем известные значения: \(\frac{AC}{\sin 45^\circ} = 2r\).

11. Заметим, что \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
Поэтому у нас получается следующее уравнение: \(\frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2r\).

12. Выразим AC из этого уравнения: \(AC = \frac{2r \cdot \sqrt{2}}{2} = r \sqrt{2}\).

13. Подставим найденное значение AC обратно в уравнение из пункта 9: \(\frac{r \sqrt{2}}{\sin 75^\circ} = 2BD\).

14. Решим это уравнение относительно BD: \(BD = \frac{r \sqrt{2}}{2 \sin 75^\circ}\).

15. Теперь найдем величину R. Заметим, что треугольник ABD, описанный вокруг окружности радиуса R, является прямоугольным треугольником с гипотенузой BD. Поэтому применим теорему Пифагора:
\(AD^2 + BD^2 = R^2\).

16. Заметим, что AD равно двум радиусам окружности ABC (AD = AC), то есть \(AD = 2r\).
Подставляем известные значения: \((2r)^2 + BD^2 = R^2\).

17. Упростим это уравнение: \(4r^2 + BD^2 = R^2\).

18. Подставим уже выраженное значение BD из пункта 14: \(4r^2 + \left(\frac{r \sqrt{2}}{2 \sin 75^\circ}\right)^2 = R^2\).

19. Упростим это уравнение еще раз и выразим R: \(R^2 = 4r^2 + \frac{r^2 \cdot 2}{4 \sin^2 75^\circ}\).

20. Вынесем общий множитель 4r^2 из скобок: \(R^2 = 4r^2 \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{4 \sin^2 75^\circ}\right)\).

21. Итак, мы получили квадратное уравнение относительно R^2. Чтобы найти R, возьмем корень из обеих частей уравнения: \(R = \sqrt{4r^2 \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{4 \sin^2 75^\circ}\right)}\).

Таким образом, радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABD, равен \(R = \sqrt{4r^2 \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{4 \sin^2 75^\circ}\right)}\).