1) Все три прямые, образованные пересечением двух из трех плоскостей, пересекаются между собой. Докажите это

Yabednik

68

Задача 1:
Для доказательства этого утверждения, нам необходимо рассмотреть возможные случаи взаимного расположения прямых и плоскостей.

Пусть даны три плоскости: A, B и C. Допустим, что пересечения двух плоскостей, например, плоскости A и B, образуют прямую m. Тогда наша задача – доказать, что прямые m, n и o, образованные пересечениями плоскостей A и B, B и C, и A и C соответственно, пересекаются между собой.

Для начала, рассмотрим случай, когда прямые m, n и o не параллельны друг другу. Пусть m пересекает прямую n в точке P, прямую n пересекает прямая o в точке Q, и прямая o пересекает прямую m в точке R. Мы должны показать, что точки P, Q и R совпадают.

Предположим, что точки P, Q и R не совпадают. Это значит, что прямые m, n и o пересекаются в трех разных точках. Мы знаем, что плоскости A, B и C пересекаются, и значит, должны иметь общую точку пересечения. Но эти три точки пересечения P, Q и R должны лежать на пересечении плоскостей. Это означает, что у нас должна быть общая точка пересечения трех плоскостей, противоречие нашему предположению. Таким образом, мы можем сделать вывод, что точки P, Q и R должны совпадать, что означает, что прямые m, n и o пересекаются в одной и той же точке.

Если прямые m, n и o параллельны друг другу, то пересечениями плоскостей A и B, B и C, и A и C будут параллельные прямые, и они все пересекаются в одной и той же бесконечно удаленной точке, называемой точкой пересечения прямых, лежащих на плоскостях.

Таким образом, мы доказали, что все три прямых, образованные пересечением двух из трех плоскостей, пересекаются между собой.

Задача 2:
Для доказательства этого утверждения, давайте рассмотрим следующую аргументацию:

Пусть даны три попарно скрещивающиеся прямые: a, b и c. Нам нужно доказать, что существует плоскость, которая пересекает все три прямые.

Возьмем произвольную точку A на прямой a. Также, возьмем произвольные точки B на прямой b и C на прямой c.

Поскольку прямые a, b и c попарно скрещиваются, они не параллельны друг другу. Значит, a, b и c лежат в разных плоскостях.

Теперь построим плоскость, проходящую через точки A, B и C. Точки A, B и C лежат на прямых a, b и c соответственно, и эта плоскость будет пересекать все три прямые.

Таким образом, мы доказали, что существует плоскость, которая пересекает все три попарно скрещивающиеся прямые.