1. What are the coordinates of point M, with respect to which points E (-3; 8; 7) and K (-9; 6; 1) are symmetric?

Морской_Путник

60

1. Чтобы найти координаты точки M, относительно которой точки E (-3; 8; 7) и K (-9; 6; 1) симметричны, мы можем воспользоваться свойством симметрии. Координаты точки M будут средними значениями координат точек E и K по соответствующим осям.

Для координаты x:
\(x_M = \frac{{x_E + x_K}}{2} = \frac{{-3 + (-9)}}{2} = -6 \)

Для координаты y:
\(y_M = \frac{{y_E + y_K}}{2} = \frac{{8 + 6}}{2} = 7 \)

Для координаты z:
\(z_M = \frac{{z_E + z_K}}{2} = \frac{{7 + 1}}{2} = 4 \)

Таким образом, координаты точки M равны (-6; 7; 4).

2. Чтобы найти расстояние от точки А (2; 3; -6) до плоскости XY, мы можем использовать формулу для расстояния от точки до плоскости:

\[d = \frac{{|Ax + By + Cz + D|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2 + C^2}}}}\]

Где A, B, C и D - коэффициенты уравнения плоскости XY, которые равны 0, так как в плоскости XY z-координата равна 0.

Таким образом, у нас получается следующее уравнение:
\[d = \frac{{|0 \cdot 2 + 0 \cdot 3 + 1 \cdot (-6) + 0|}}{{\sqrt{{0^2 + 0^2 + 1^2}}}}\]

Расчеты:
\[d = \frac{{|-6|}}{{\sqrt{1}}} = 6\]

Расстояние от точки A до плоскости XY равно 6.

3. Чтобы найти ортогональную проекцию отрезка с конечными точками A (-1; 0; 5) и B (-1; 0; 8) на плоскость XY, мы можем использовать формулу для проекции вектора на плоскость.

Формула:
\[Proj_{XY}(\vec{AB}) = \vec{AB} - Proj_{\vec{n}}(\vec{AB})\]

Где \(\vec{n}\) - нормальный вектор плоскости XY.

Так как плоскость XY параллельна оси z, и нормальный вектор плоскости имеет координаты (0, 0, 1), наша формула упрощается до:
\[Proj_{XY}(\vec{AB}) = \vec{AB} - Proj_{(0, 0, 1)}(\vec{AB})\]

Вычисления:
\(\vec{AB} = (-1 - (-1), 0 - 0, 8 - 5) = (0, 0, 3)\)

Проекция на нормальный вектор плоскости:
\[Proj_{(0, 0, 1)}(\vec{AB}) = \frac{\vec{AB} \cdot (0, 0, 1)}{(0, 0, 1) \cdot (0, 0, 1)} \cdot (0, 0, 1)\]
\[Proj_{(0, 0, 1)}(\vec{AB}) = \frac{(0, 0, 3) \cdot (0, 0, 1)}{1} \cdot (0, 0, 1)\]
\[Proj_{(0, 0, 1)}(\vec{AB}) = \frac{3}{1} \cdot (0, 0, 1) = (0, 0, 3)\]

Теперь можем найти ортогональную проекцию:
\[Proj_{XY}(\vec{AB}) = (0, 0, 3) - (0, 0, 3) = (0, 0, 0)\]

Итак, ортогональная проекция отрезка AB на плоскость XY - это точка с координатами (0, 0, 0), то есть точка.

Ответ: d) точка

4. Чтобы найти вектор C = 2A - B, где A (3; -1; 2) и B (-2; 2; 5), мы должны умножить каждую координату вектора A на 2 и вычесть координаты вектора B.

Вычисления:
\(C_x = 2 \cdot 3 - (-2) = 8\)
\(C_y = 2 \cdot (-1) - 2 = -4\)
\(C_z = 2 \cdot 2 - 5 = -1\)

Таким образом, вектор C имеет координаты (8; -4; -1).

5. Для нахождения длины вектора A мы можем использовать формулу для расчета длины вектора:

\(|\vec{A}| = \sqrt{{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}}\)

Вычисления:
\(|\vec{A}| = \sqrt{{2^2 + 3^2 + (-6)^2}} = \sqrt{{4 + 9 + 36}} = \sqrt{{49}} = 7\)

Таким образом, длина вектора A равна 7.