Участвовало не менее 12 игроков в турнире. Результаты турнира показали, что некоторые игроки набрали 5, 7, 8

Марк_8164

19

Давайте разберемся с задачей пошагово.

1. Пусть \( x \) - количество игроков, набравших 5 или 7 очков.
2. Тогда количество игроков, набравших больше 10 очков, будет равно \( x \).
3. Пусть \( y \) - количество игроков, набравших 8 очков.
4. Тогда количество игроков, набравших 10 очков, будет равно \( 12 - x - x - y \) (так как мы знаем, что участвовало не менее 12 игроков).
5. По условию задачи, количество игроков, набравших 5 или 7 очков, одинаково и оно превышает сумму игроков, набравших больше 10 очков. Математически это можно записать следующим образом: \( x > 12 - x - x - y \).
6. Упростим это неравенство: \( x > 12 - 2x - y \).
7. Также по условию задачи мы знаем, что количество игроков, набравших больше 10 очков, меньше, чем количество игроков, набравших 5 или 7 очков. Математически это можно записать следующим образом: \( 12 - x - x - y < x \).
8. Упростим это неравенство: \( 12 - 2x - y < x \).
9. Теперь у нас есть система из двух неравенств:
\[ \begin{cases} x > 12 - 2x - y \\ 12 - 2x - y < x \end{cases} \]
10. Решим данную систему неравенств. Для этого сосчитаем различные комбинации значений \( x \) и \( y \) и проверим условия неравенств.

Если \( x = 1 \) и \( y = 1 \):
\[ \begin{cases} 1 > 12 - 2 - 1 \\ 12 - 2 - 1 < 1 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 1 > 9 \\ 9 < 1 \end{cases} \]
Оба неравенства не выполняются.

Если \( x = 2 \) и \( y = 1 \):
\[ \begin{cases} 2 > 12 - 4 - 1 \\ 12 - 4 - 1 < 2 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 2 > 7 \\ 7 < 2 \end{cases} \]
Оба неравенства не выполняются.

Если \( x = 3 \) и \( y = 1 \):
\[ \begin{cases} 3 > 12 - 6 - 1 \\ 12 - 6 - 1 < 3 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 3 > 5 \\ 5 < 3 \end{cases} \]
Оба неравенства не выполняются.

Если \( x = 4 \) и \( y = 1 \):
\[ \begin{cases} 4 > 12 - 8 - 1 \\ 12 - 8 - 1 < 4 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 4 > 3 \\ 3 < 4 \end{cases} \]
Оба неравенства выполняются.

11. Получается, что при \( x = 4 \) и \( y = 1 \) все условия задачи выполняются, то есть существует такое распределение очков, при котором 4 игрока набрали 5 или 7 очков, 1 игрок набрал 8 очков и 12 - 4 - 4 - 1 = 3 игрока набрали 10 очков.

Итак, в турнире:
- 4 игрока набрали 5 или 7 очков,
- 1 игрок набрал 8 очков,
- 3 игрока набрали 10 очков.