1) What is the area of the rectangle whose perimeter is 72 cm, and one of its sides is 3 times larger than the other?

Скользкий_Барон

7

1) Для решения этой задачи нам понадобится ряд шагов. Давайте начнем с нахождения сторон прямоугольника.

Обозначим одну из сторон прямоугольника как \(x\), а другую сторону - как \(3x\), так как одна сторона больше в 3 раза, чем другая.

Периметр прямоугольника равен сумме длин всех его сторон, то есть:

\[2(x + 3x) = 72\]

Упростим это уравнение:

\[2(4x) = 72\]

\[8x = 72\]

Теперь найдем значение \(x\):

\[x = \frac{72}{8} = 9\]

Таким образом, одна из сторон прямоугольника равна 9 см, а другая сторона равна \(3 \cdot 9 = 27\) см.

Теперь перейдем ко второй части задачи - нахождению периметра треугольника, образованного сторонами этого прямоугольника, где все стороны треугольника равны.

Треугольник, образованный сторонами 9 см и 27 см, будет равнобедренным треугольником. Поэтому его периметр можно найти по формуле \(P = 2a + b\), где \(a\) - длина одной стороны, а \(b\) - длина основания треугольника.

В нашем случае, \(a = 9\) см и \(b = 27\) см. Подставим значения и вычислим периметр треугольника:

\[P = 2 \cdot 9 + 27\]
\[P = 18 + 27\]
\[P = 45\]

Таким образом, периметр треугольника, образованного сторонами прямоугольника, равен 45 см.

Объем прямоугольника можно найти как произведение его двух сторон, то есть:

\[A = 9 \cdot 27\]
\[A = 243\]

Так что площадь прямоугольника равна 243 квадратных сантиметра.

2) В данной задаче прямоугольник делится на две прямоугольные части. Пусть площадь одной части будет равна \(x\), тогда площадь второй части будет \(2x\) (так как одна часть вдвое меньше другой).

Площадь прямоугольника равна сумме площадей его частей:

\[x + 2x = 3x\]

Учитывая, что площадь прямоугольника можно выразить как произведение длины \(a\) на ширину \(b\), получим:

\[ab = 3x\]

Так как площадь одной части вдвое меньше другой, то площадь первой части будет равна \(\frac{3x}{2}\), а площадь второй части будет равна \(\frac{3x}{4}\).

Поэтому, \(ab = \frac{3x}{2} + \frac{3x}{4}\)

Общая площадь получается:

\[ab = \frac{9x}{4}\]

Из уравнения \(ab = 3x\) мы можем выразить одну из переменных через другую:

\[b = \frac{3x}{a}\]

Подставим это значение в уравнение для общей площади:

\[a \cdot \frac{3x}{a} = \frac{9x}{4}\]

Упростим:

\[3x = \frac{9x}{4}\]

Умножим обе части уравнения на \(\frac{4}{9}\):

\[x = \frac{4}{9} \cdot \frac{9x}{4}\]

\[x = x\]

Таким образом, мы показали, что \(x\) может иметь любое значение.

Следовательно, форма каждой части прямоугольника будет зависеть от выбранного значения \(x\). Например, если \(x = 4\), то первая часть будет квадратом со стороной 4 и периметром 16, а вторая часть будет прямоугольником со сторонами 4 и 6 и периметром 20.

3) Пусть одна из сторон прямоугольника будет обозначена как \(x\), а другая сторона будет равна \(x + 15\) мм, так как одна сторона больше другой на 15 мм.

Периметр прямоугольника равен сумме длин всех его сторон, то есть:

\[2(x + x + 15) = 15\]

Упростим уравнение и объединим одинаковые переменные:

\[2(2x + 15) = 15\]

Упростим еще больше:

\[4x + 30 = 15\]

Вычтем 30 с обеих сторон уравнения:

\[4x = -15\]

Теперь разделим обе части уравнения на 4:

\[x = \frac{-15}{4}\]

Таким образом, одна из сторон прямоугольника равна \(-\frac{15}{4}\) мм. Однако, отрицательное значение не имеет физического смысла в этом контексте. Поэтому мы можем сделать вывод, что в этой задаче нет физического решения.