1. What is the magnitude of the displacement of the end of the clock hand in a day? What is the distance traveled

Lizonka

52

1. Чтобы решить эту задачу, нам необходимо понять, как движется концевая точка стрелки часов. Для этого нам понадобится знать скорость вращения стрелки и ее длину.

Обозначим скорость вращения как \(\omega\) и радиус стрелки как \(r\).
Скорость вращения стрелки определяет угловую скорость, то есть сколько радиан стрелка проходит за единицу времени.

В нашем случае, за одни сутки стрелка проходит полный круг (360 градусов). Таким образом, нам нужно найти угол, который соответствует этому полному кругу.

Угловая скорость можно выразить следующим образом:

\[\omega = \frac{{2\pi}}{{T}}\]

где \(\omega\) - угловая скорость в радианах в секунду, а \(T\) - время вращения стрелки в секундах (здесь мы используем время в секундах для упрощения расчетов).

Теперь мы можем найти величину перемещения (displacement) концевой точки стрелки. В этом случае, величина перемещения равна углу, прошедшему стрелкой, умноженному на радиус:

\[\text{{Перемещение}} = \theta \cdot r\]

где \(\theta\) - угол в радианах, прошедший стрелкой, а \(r\) - радиус стрелки.

Для того, чтобы найти расстояние, пройденное концевой точкой стрелки, мы можем использовать формулу для длины дуги окружности:

\[\text{{Расстояние}} = \theta \cdot r\]

Теперь, чтобы выяснить, через какое время расстояние превысит перемещение в 3.14 раза, мы можем расставить уравнение:

\[\text{{Расстояние}} = \text{{Перемещение}} + 3.14 \cdot \text{{Перемещение}}\]

Подставив выражения для расстояния и перемещения, мы получим:

\[\theta \cdot r = \theta \cdot r + 3.14 \cdot \theta \cdot r\]

Находим общий множитель \(\theta \cdot r\):

\[\theta \cdot r \cdot (1 - 1 - 3.14) = 0\]

\[\theta \cdot r \cdot (-3.14) = 0\]

Теперь мы можем найти, через какое время расстояние превысит перемещение в 3.14 раза:

\[\text{{Время}} = \frac{{\text{{Расстояние}}}}{{\text{{Скорость}}}}\]

2. Для решения этой задачи нам нужно получить выражение для координаты \(x\) для каждого объекта и затем построить графики их зависимости от времени.

Дано:

\(x_1 = 40 - 10t\)

\(x_2 = -20 + 5t\)

Где \(t\) - время в секундах.

Построим графики функций \(x_1\) и \(x_2\) на одной диаграмме:


На графике мы видим, что первый объект (график \(x_1\)) начинается выше нуля и движется влево, а второй объект (график \(x_2\)) начинается ниже нуля и движется вправо.

Чтобы найти координату и время пересечения объектов, мы должны приравнять \(x_1\) и \(x_2\) и решить уравнение:

\[40 - 10t = -20 + 5t\]

Перенесем все слагаемые на одну сторону:

\[10t + 5t = 40 + 20\]

Упростим:

\[15t = 60\]

Разделим обе части на 15:

\[t = 4\]

Таким образом, объекты пересекаются в момент времени \(t = 4\) секунды.

Чтобы найти координату пересечения, мы можем подставить это значение времени в одно из уравнений:

\[x_1 = 40 - 10t\]

\[x_1 = 40 - 10 \cdot 4\]

\[x_1 = 40 - 40\]

\[x_1 = 0\]

Таким образом, объекты пересекаются в точке \((0, 4)\).