1. What is the power, P(t), of the force acting on the particle, given the dependency of the particle s velocity

Mariya

23

1. Чтобы найти мощность, P(t), силы, действующей на частицу, воспользуемся формулой для мощности:

\[ P(t) = F(t) \cdot v(t) \]

где F(t) - сила, действующая на частицу в момент времени t, а v(t) - скорость частицы в момент времени t.

Для того чтобы найти мощность, нам необходимо найти как сила F(t) зависит от времени и как скорость v(t) зависит от времени. В данной задаче дана зависимость скорости v от времени t:

\[ v = \sqrt{(at)^2 + (bt^2)^2 + (ct^3)^2} \]

Чтобы найти мощность, нам нужно найти производную скорости по времени (\( \frac{{dv}}{{dt}} \)) и затем подставить полученное значение в формулу мощности.

Давайте найдем производную скорости по времени:

\[ \frac{{dv}}{{dt}} = \frac{d}{{dt}} \left( \sqrt{(at)^2 + (bt^2)^2 + (ct^3)^2} \right) \]

Чтобы вычислить данную производную, воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Найдем производную каждого члена под корнем.

Для первого члена, \((at)^2\), получим:

\[ \frac{d}{{dt}} ((at)^2) = 2(at) \cdot a = 2a^2t \]

Для второго члена, \((bt^2)^2\), получим:

\[ \frac{d}{{dt}} ((bt^2)^2) = 2(bt^2) \cdot b = 2b^2t^2 \]

И для третьего члена, \((ct^3)^2\), получим:

\[ \frac{d}{{dt}} ((ct^3)^2) = 2(ct^3) \cdot 3ct^2 = 6c^2t^5 \]

Теперь соберем все вместе и найдем производную скорости:

\[ \frac{{dv}}{{dt}} = \frac{2a^2t}{2\sqrt{(at)^2 + (bt^2)^2 + (ct^3)^2}} + \frac{2b^2t^2}{2\sqrt{(at)^2 + (bt^2)^2 + (ct^3)^2}} + \frac{6c^2t^5}{2\sqrt{(at)^2 + (bt^2)^2 + (ct^3)^2}} \]

Раскроем знаменатель:

\[ \frac{{dv}}{{dt}} = \frac{a^2t + b^2t^2 + 3c^2t^5}{\sqrt{(at)^2 + (bt^2)^2 + (ct^3)^2}} \]

Теперь, чтобы найти мощность, остается только подставить данную производную и значение скорости в формулу мощности:

\[ P(t) = F(t) \cdot v(t) = F(t) \cdot \sqrt{(at)^2 + (bt^2)^2 + (ct^3)^2} \]

2. Чтобы найти расстояние, пройденное электроном, начинающим движение с начальной скоростью 2.4 мм/с, параллельно электрическому полю интенсивностью 8.4 кВ/м, мы сначала найдем ускорение электрона.

Для этого воспользуемся законом движения заряда в электрическом поле:

\[ F = q \cdot E \]

где F - сила на заряде, q - величина заряда, E - интенсивность электрического поля.

В данной задаче заряд электрона равен \(1.6 \times 10^{-19}\) Кл, а интенсивность электрического поля равна 8.4 кВ/м. Теперь можем найти силу F:

\[ F = (1.6 \times 10^{-19}) \cdot (8.4 \times 10^3) \]

\[ F = 1.344 \times 10^{-15} \, Н \]

Так как в данной задаче электрон движется параллельно электрическому полю, то сила, действующая на электрон, направлена противоположно направлению его движения. Следовательно, работа силы F отрицательна:

\[ A = -F \cdot s \]

где A - работа, F - сила, s - пройденное расстояние.

Так как работа равна изменению кинетической энергии:

\[ A = \Delta KE \]

а кинетическая энергия связана со скоростью следующим образом:

\[ KE = \frac{1}{2} m v^2 \]

где KE - кинетическая энергия, m - масса электрона, v - скорость электрона.

Изначально электрон имеет начальную скорость 2.4 мм/с, поэтому его начальная кинетическая энергия будет:

\[ KE_0 = \frac{1}{2} m (2.4 \times 10^{-3})^2 \]

Таким образом, можем записать:

\[ A = \Delta KE = KE - KE_0 \]

\[ A = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} m (2.4 \times 10^{-3})^2 \]

Подставим значение силы F и найдем расстояние:

\[ -F \cdot s = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} m (2.4 \times 10^{-3})^2 \]

\[ s = -\frac{\frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} m (2.4 \times 10^{-3})^2}{F} \]

\[ s = -\frac{\frac{1}{2} m (2.4 \times 10^{-3})^2}{F} \]

Теперь остается только подставить значения массы электрона и силы F в данное выражение, чтобы найти расстояние, пройденное электроном.