1. What is the probability that the ball extracted from the second box is white after transferring one ball from

Blestyaschaya_Koroleva

63

1. Для решения этой задачи, нам необходимо использовать понятие условной вероятности.

Исходные данные:
- В начале, у нас есть две коробки. Первая коробка содержит 3 красных и 2 белых шара, а вторая коробка содержит 2 красных и 2 белых шара.
- Мы берем один шар из первой коробки и перекладываем его во вторую коробку.

Мы хотим найти вероятность того, что после перекладывания шара, шар, достанный из второй коробки, будет белым.

Пусть событие A - шар, достанный из первой коробки, является белым, а событие B - шар, достанный из второй коробки, является белым.

Мы хотим найти вероятность P(B), т.е. вероятность того, что шар, достанный из второй коробки, будет белым.

По формуле условной вероятности:
\[P(B) = P(B|A) \cdot P(A) + P(B|\overline{A}) \cdot P(\overline{A})\]

Где:
- \(P(B|A)\) - вероятность того, что шар из второй коробки белый, при условии, что шар из первой коробки также был белым.
- \(P(A)\) - вероятность того, что шар из первой коробки белый.
- \(P(B|\overline{A})\) - вероятность того, что шар из второй коробки белый, при условии, что шар из первой коробки был красным.
- \(P(\overline{A})\) - вероятность того, что шар из первой коробки был красным.

Так как мы знаем, что в первой коробке всего 5 шаров (3 красных и 2 белых), то вероятность того, что шар из первой коробки будет белым, равна:
\[P(A) = \frac{{\text{число белых шаров в первой коробке}}}{{\text{общее число шаров в первой коробке}}} = \frac{2}{5}\]

Также, вероятность того, что шар из первой коробки будет красным, равна:
\[P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}\]

Остается найти вероятности \(P(B|A)\) и \(P(B|\overline{A})\).

После перекладывания одного шара из первой коробки во вторую, в первой коробке останется 2 красных и 1 белый шар. Во второй коробке будет 3 красных и 3 белых шара.

Вероятность того, что шар из второй коробки будет белым, при условии, что шар из первой коробки был белым, равна:
\[P(B|A) = \frac{{\text{число белых шаров во второй коробке после перекладывания}}}{{\text{общее число шаров во второй коробке после перекладывания}}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\]

Вероятность того, что шар из второй коробки будет белым, при условии, что шар из первой коробки был красным, равна:
\[P(B|\overline{A}) = \frac{{\text{число белых шаров во второй коробке после перекладывания}}}{{\text{общее число шаров во второй коробке после перекладывания}}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\]

Теперь, подставим найденные значения в формулу условной вероятности и найдем вероятность P(B):
\[P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1}{5} + \frac{3}{10} = \frac{4}{10} + \frac{3}{10} = \frac{7}{10}\]

Таким образом, вероятность того, что шар, доставшийся из второй коробки, будет белым, составляет \(\frac{7}{10}\).

2. Для решения этой задачи, нам также потребуется понятие условной вероятности.

Исходные данные:
- В группе из 10 000 человек старше 60 лет, 4000 курят. Из этих курильщиков, 1800 имеют проблемы с легкими.
- Среди некурящих, 1500 имеют проблемы с легкими.

Нам нужно найти вероятность того, что случайно выбранный человек с проблемами легких из исследуемой группы является курильщиком.

Пусть событие A - случайно выбранный человек курит, а событие B - случайно выбранный человек имеет проблемы с легкими.

Мы хотим найти вероятность P(A|B), т.е. вероятность того, что выбранный человек является курильщиком, при условии, что у него есть проблемы с легкими.

По формуле условной вероятности:
\[P(A|B) = \frac{{P(B|A) \cdot P(A)}}{{P(B)}}\]

Где:
- \(P(B|A)\) - вероятность того, что у курильщика есть проблемы с легкими.
- \(P(A)\) - вероятность того, что случайно выбранный человек курит.
- \(P(B)\) - вероятность того, что случайно выбранный человек имеет проблемы с легкими.

Однако, нам даны только вероятности принадлежности к группам: курящих и некурящих с проблемами легких. Нам нужно найти вероятность P(B), т.е. вероятность того, что случайно выбранный человек имеет проблемы с легкими.

Вероятность P(B) можно найти, разделив количество людей с проблемами легкими на общее количество людей в группе.

В нашем случае, количество людей с проблемами легкими равно сумме количества курящих и некурящих с проблемами легкими:
\[P(B) = \frac{{\text{количество людей с проблемами легкими}}}{{\text{общее количество людей}}} = \frac{{1800 + 1500}}{{10000}} = \frac{{3300}}{{10000}} = \frac{{33}}{{100}} = 0.33\]

Теперь, нам нужно найти вероятности \(P(B|A)\) и \(P(A)\).

Среди курящих, 1800 имеют проблемы с легкими.

Вероятность того, что случайно выбранный человек курильщик, равна:
\[P(A) = \frac{{\text{количество курящих}}}{{\text{общее количество людей}}} = \frac{{4000}}{{10000}} = \frac{{4}}{{10}} = 0.4\]

Теперь, подставим найденные значения в формулу условной вероятности и найдем вероятность P(A|B):
\[P(A|B) = \frac{{P(B|A) \cdot P(A)}}{{P(B)}} = \frac{{\frac{{1800}}{{4000}} \cdot 0.4}}{{0.33}} = \frac{{0.9 \cdot 0.4}}{{0.33}} = \frac{{0.36}}{{0.33}} = \frac{{36}}{{33}} \approx 1.09\]

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранный человек с проблемами легкими из исследуемой группы является курильщиком, составляет приблизительно 1.09 или около 109%. Однако, в контексте условной вероятности, это означает, что курильщики склонны иметь проблемы с легкими чаще, по сравнению с некурящими.