1) Як змінюється положення тіла s(t), якщо швидкість руху v(t) дорівнює 2t+1 і при t=1 триває s(1)=3? 2) Який інтеграл

Cherepaha

58

1) Для решения данной задачи используем связь между скоростью и положением тела при движении. Известно, что скорость \(v(t)\) задана уравнением \(v(t) = 2t + 1\). Чтобы найти положение тела \(s(t)\) в момент времени \(t\), мы должны взять интеграл скорости по времени. Формально это можно записать следующим образом:
\[s(t) = \int v(t) \, dt\]

Теперь найдем собственно положение тела \(s(t)\). В данном случае, нам известно, что при моменте времени \(t = 1\) положение тела \(s(1)\) равно 3. Давайте найдем функцию \(s(t)\) при помощи интегрирования скорости \(v(t)\):
\[\begin{align*}
s(t) &= \int (2t + 1) \, dt \\
&= \int 2t \, dt + \int 1 \, dt \\
&= t^2 + t + C
\end{align*}\]

Теперь, чтобы найти константу интегрирования \(C\), подставим значение \(s(1) = 3\):
\[3 = 1^2 + 1 + C\]

Выразим \(C\):
\[C = 3 - 2 - 1 = 0\]

Таким образом, положение тела \(s(t)\) при заданной скорости \(v(t) = 2t + 1\) будет равно:
\[s(t) = t^2 + t\]

2) Для вычисления площади фигуры, ограниченной кривыми \(y = x^2\), \(y = 0\), и \(x = 2\), используем определенный интеграл. Функция \(y = x^2\) задает параболу, которая симметрична относительно оси y и пересекает ось x в точках \(x = -2\) и \(x = 2\). Чтобы найти площадь фигуры, мы должны взять интеграл разности между верхней и нижней границами.

По условию задачи, верхняя граница фигуры - функция \(y = x^2\), а нижняя граница - \(y = 0\). Раз пределы интегрирования заданы как \(x = -2\) и \(x = 2\), то интеграл для вычисления площади можно записать следующим образом:
\[S = \int_{-2}^{2} (x^2 - 0) \, dx\]

Выполним интегрирование:
\[\begin{align*}
S &= \int_{-2}^{2} x^2 \, dx \\
&= \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2} \\
&= \frac{2^3}{3} - \frac{(-2)^3}{3} \\
&= \frac{8}{3} - \frac{-8}{3} \\
&= \frac{16}{3}
\end{align*}\]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми \(y = x^2\), \(y = 0\) и \(x = 2\), равна \(\frac{16}{3}\).

3) Формула, которая используется для вычисления площади фигуры, ограниченной кривыми \(y = x^2\), называется формулой "интеграл от \(x_1\) до \(x_2\) от \(f(x)\) с переменной \(x\)". Данная формула записывается следующим образом:
\[S = \int_{x_1}^{x_2} f(x) \, dx\]

В данном случае, кривая \(y = x^2\) задает параболу, и площадь фигуры, ограниченной этой параболой, будет вычисляться с помощью интеграла от \(x_1\) до \(x_2\) от функции \(y = x^2\):
\[S = \int_{x_1}^{x_2} x^2 \, dx\]

Нет конкретных значений для \(x_1\) и \(x_2\) в данной задаче, поэтому формула записана в общем виде.

Помните, что для вычисления площади фигуры, всегда необходимо использовать определенный интеграл и указывать верхние и нижние границы интегрирования, чтобы определить интервал, на котором мы вычисляем площадь.