1. Яка площа поверхні піраміди з основою у вигляді прямокутника зі сторонами 12 і 10 см та висотою 8 см? 2. Яка площа

Mihail

65

1. Щоб знайти площу поверхні піраміди з основою у вигляді прямокутника, спочатку необхідно знайти площу основи піраміди і площу бокової поверхні, а потім їх скласти.

Площа прямокутника зі сторонами 12 см і 10 см може бути знайдена за формулою:

\[Площа = довжина \times ширина\]

\[Площа = 12 \, см \times 10 \, см = 120 \, см^2\]

Тепер потрібно знайти площу бокової поверхні піраміди. Для цього необхідно обчислити периметр основи і помножити його на половину висоти піраміди.

Периметр прямокутника можна знайти за формулою:

\[Периметр = 2 \times (довжина + ширина)\]

\[Периметр = 2 \times (12 \, см + 10 \, см) = 44 \, см\]

Тепер ми знаємо периметр і висоту піраміди, тому можемо знайти площу бокової поверхні:

\[Площа\_бокової = Периметр \times \frac{1}{2} \times висота\]

\[Площа\_бокової = 44 \, см \times \frac{1}{2} \times 8 \, см = 176 \, см^2\]

Нарешті, складемо площу основи і площу бокової поверхні, щоб отримати площу поверхні піраміди:

\[Площа\_поверхні = Площа\_основи + Площа\_бокової\]

\[Площа\_поверхні = 120 \, см^2 + 176 \, см^2 = 296 \, см^2\]

Отож, площа поверхні піраміди з основою у вигляді прямокутника зі сторонами 12 і 10 см та висотою 8 см дорівнює 296 см².

2. Площа поверхні кулі з діаметром 8 см може бути знайдена за формулою:

\[Площа\_поверхні = 4 \pi r^2\]

де \(r\) - радіус кулі.

Радіус кулі дорівнює половині діаметра:

\[r = \frac{8 \, см}{2} = 4 \, см\]

Підставляючи значення радіуса в формулу, маємо:

\[Площа\_поверхні = 4 \pi \times (4 \, см)^2\]

\[Площа\_поверхні = 4 \pi \times 16 \, см^2\]

\[Площа\_поверхні \approx 201,06 \, см^2\]

Отже, площа поверхні кулі з діаметром 8 см дорівнює приблизно 201,06 см².

3. Площа бічної поверхні конуса з висотою 6 см і діаметром основи 16 см може бути знайдена за формулою:

\[Площа\_бічна = \pi \times r \times g\]

де \(r\) - радіус основи конуса, \(g\) - обернена висота конуса (відстань від вершини до центра основи).

Радіус конуса дорівнює половині діаметра:

\[r = \frac{16 \, см}{2} = 8 \, см\]

Обернена висота конуса може бути знайдена за теоремою Піфагора:

\[g = \sqrt{r^2 + h^2}\]

\[g = \sqrt{8^2 + 6^2}\]

\[g \approx 10 \, см\]

Підставляючи значення радіуса і оберненої висоти в формулу, маємо:

\[Площа\_бічна = \pi \times 8 \, см \times 10 \, см\]

\[Площа\_бічна \approx 251,33 \, см^2\]

Отже, площа бічної поверхні конуса з висотою 6 см і діаметром основи 16 см дорівнює приблизно 251,33 см².

4. Щоб знайти площу повної поверхні циліндра з відомим кутом між осьовим перерізом та площиною основи, спочатку знайдемо площу основи, а потім площу бокової поверхні і складемо їх.

Площу площиною основи циліндра можна знайти, знаючи довжину діаметра основи:

\[Площа\_основи = \frac{\pi \times d^2}{4}\]

де \(d\) - діаметр основи циліндра.

Довжина діаметра основи дорівнює 12 см, тому можемо підставити значення в формулу:

\[Площа\_основи = \frac{\pi \times (12 \, см)^2}{4}\]

\[Площа\_основи = \frac{\pi \times 144 \, см^2}{4}\]

\[Площа\_основи \approx 113,10 \, см^2\]

Тепер, щоб знайти площу бокової поверхні циліндра, необхідно обчислити периметр основи і помножити його на висоту циліндра.

Периметр круга (основи циліндра) можна знайти за формулою:

\[Периметр = \pi \times d\]

\[Периметр = \pi \times 12 \, см\]

\[Периметр \approx 37,70 \, см\]

Довжина діагоналі осьового перерізу, яка утворює кут 30° з площиною основи, може бути знайдена за теоремою косинусів:

\[Діагональ = \sqrt{2 \times (Площа\_основи)^2 - 2 \times (Площа\_основи)^2 \times \cos{(30°)}}\]

\[Діагональ = \sqrt{2 \times (113,10 \, см^2)^2 - 2 \times (113,10 \, см^2)^2 \times \cos{(30°)}}\]

\[Діагональ \approx 17,32 \, см\]

Тепер ми знаємо периметр і висоту циліндра, тому можемо знайти площу бокової поверхні:

\[Площа\_бокової = Периметр \times висота\]

\[Площа\_бокової = 37,70 \, см \times 17,32 \, см\]

\[Площа\_бокової \approx 652,02 \, см^2\]

Нарешті, складемо площу основи і площу бокової поверхні, щоб отримати площу повної поверхні циліндра:

\[Площа\_повна = Площа\_основи + Площа\_бокової\]

\[Площа\_повна = 113,10 \, см^2 + 652,02 \, см^2\]

\[Площа\_повна \approx 765,12 \, см^2\]

Отже, площа повної поверхні циліндра з відомим кутом 30° і діаметром основи 12 см дорівнює приблизно 765,12 см².

5. Об"єм прямої призми з основою у вигляді прямокутного трикутника з катетом 6 см і гострим кутом 45° можна знайти за формулою:

\[Об"єм = Площа\_основи \times висота\]

Площу основи прямої призми можна знайти, використовуючи формулу для прямокутних трикутників:

\[Площа\_основи = \frac{1}{2} \times катет1 \times катет2\]

\[Площа\_основи = \frac{1}{2} \times 6 \, см \times 6 \, см = 18 \, см^2\]

Висота прямої призми не вказана, тому об"єм призми залежатиме від висоти, яку ви виберете.

Отже, об"єм прямої призми з основою у вигляді прямокутного трикутника з катетом 6 см і гострим кутом 45° дорівнює \(18 \, см^2 \times висота\), де висота - це значення, яке вам потрібно обрати.