1. Яка висота циліндра, якщо його об єм дорівнює 45π см³, а діаметр основи - 6 см? 2. Яка площа повної поверхні конуса

Маркиз_2414

65

Задача 1:
Для расчета высоты цилиндра по известному объему и диаметру основы, мы можем использовать формулу для объема цилиндра и связанные с ней формулы для радиуса и высоты.

Объем цилиндра вычисляется по формуле:
\[V = \pi r^2 h,\]
где \(V\) - объем, \(\pi\) - число пи, \(r\) - радиус основы и \(h\) - высота.

Объем цилиндра в нашей задаче равен 45π см³, а диаметр основы - 6 см. Мы можем использовать эту информацию, чтобы найти радиус основы.

Диаметр - это удвоенный радиус, поэтому:
\[d = 2r,\]
где \(d\) - диаметр, а \(r\) - радиус.

В нашем случае диаметр равен 6 см, поэтому:
\[6 = 2r.\]
Разделив обе стороны уравнения на 2, получаем:
\[r = \frac{6}{2} = 3.\]

Теперь мы можем использовать найденное значение радиуса и объема, чтобы найти высоту цилиндра.

Подставляя значения в формулу для объема, получаем:
\[45\pi = \pi \cdot 3^2 \cdot h.\]
Упрощая уравнение, получаем:
\[45 = 9h.\]
Делим обе стороны на 9:
\[h = \frac{45}{9} = 5.\]

Таким образом, высота цилиндра равна 5 см.

Задача 2:
Для вычисления площади поверхности конуса по заданным соотношениям высоты и диаметра, нужно использовать формулы для площади боковой поверхности и площади основы.

Площадь боковой поверхности конуса:
\[S_{\text{бп}} = \pi r l,\]
где \(S_{\text{бп}}\) - площадь боковой поверхности, \(\pi\) - число пи, \(r\) - радиус основы и \(l\) - образующая конуса.

Площадь основы конуса:
\[S_{\text{осн}} = \pi r^2.\]

Из условия известно, что высота відноситься до діаметра как 2:3, то есть \(h = \frac{2}{3}d\). Также мы знаем, что образующая конуса является гипотенузой прямоугольного треугольника со сторонами \(r\) и \(h\). Мы можем применить теорему Пифагора для нахождения образующей.

Теорема Пифагора:
\[l^2 = r^2 + h^2.\]

Теперь мы можем выразить радиус основы через диаметр и высоту:
\[r = \frac{d}{2}\]
\[h = \frac{2}{3}d\]

Также мы можем выразить образующую через радиус и высоту:
\[l^2 = \left(\frac{d}{2}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}d\right)^2\]
\[l^2 = \frac{d^2}{4} + \frac{4}{9}d^2\]
\[l^2 = \frac{9d^2 + 16d^2}{36}\]
\[l^2 = \frac{25d^2}{36}\]
\[l = \frac{5d}{6}.\]

Подставляем найденное значение образующей и радиуса в формулу для площади боковой поверхности:
\[S_{\text{бп}} = \pi \cdot \frac{d}{2} \cdot \frac{5d}{6}\]
\[S_{\text{бп}} = \frac{5\pi d^2}{12}.\]

Площадь основы можно найти, используя формулу:
\[S_{\text{осн}} = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2\]
\[S_{\text{осн}} = \frac{\pi d^2}{4}.\]

Так как площадь поверхности конуса равна сумме площади боковой поверхности и площади основы, мы можем выразить ее формулой:
\[S_{\text{повн}} = S_{\text{бп}} + S_{\text{осн}}\]
\[S_{\text{повн}} = \frac{5\pi d^2}{12} + \frac{\pi d^2}{4}\]
\[S_{\text{повн}} = \frac{5\pi d^2 + 3\pi d^2}{12}\]
\[S_{\text{повн}} = \frac{8\pi d^2}{12}\]
\[S_{\text{повн}} = \frac{2\pi d^2}{3}.\]

Таким образом, площадь поверхности конуса равна \(\frac{2\pi d^2}{3}\).