1. Яке прискорення мало тіло, яке зісковзнуло по похилій площині довжиною 3 м та на нього виконали роботу рівною

Таинственный_Акробат

39

1. Запишемо дані задачі:
\(\Delta x = 3\) м (довжина площини), \(W = 12\) Дж (виконана робота)

Відомо, що робота (W) дорівнює добутку сили (F) на відстань (d), тобто \(W = F \cdot d\).
Також відомо, що сила (F) дорівнює масі (m) помноженій на прискорення (a), тобто \(F = m \cdot a\).
Підставимо значення сили у формулу роботи: \(W = m \cdot a \cdot d\).

Ми шукаємо прискорення (a), тому підставимо відомі значення:
\(12 = m \cdot a \cdot 3\)

Але нам потрібно знати масу тіла (m), щоб розв"язати це рівняння. Інформація про масу в задачі не дана. Тому відповідь на цей пункт задачі неможлива без додаткової інформації про масу тіла.

2. Запишемо дані задачі:
\(\Delta T = 20\) °C (підвищення температури), \(T_{\text{поч}} = 0\) °C (початкова температура),
\(P = 0,2\) МПа (тиск), \(R = 8,3\) Дж/(моль·К) (газова стала)

Для обчислення виконаної роботи (W) за формулою роботи \(W = P \cdot \Delta V\), спершу потрібно знайти зміну об"єму (Delta V).

Закон Гей-Люссака вимагає, щоб співвідношення між зміною об"єму і зміною температури було однаковим для всіх газів, яке можна виразити так: \(\Delta V \propto \Delta T\), де \(\propto\) означає "пропорційно".

Таким чином, \(\Delta V = k \cdot \Delta T\), де k - деяка константа пропорційності.

З формули ідеального газу \(P \cdot V = n \cdot R \cdot T\), де P - тиск, V - об"єм, n - кількість речовини (у нашому випадку 1 моль), R - газова стала, T - температура у Кельвінах, можемо записати, що початковий об"єм \(V_{\text{поч}} = \frac{n \cdot R \cdot T_{\text{поч}}}{P}\).

Тому зміну об"єму можна виразити як:
\(\Delta V = \frac{n \cdot R \cdot \Delta T}{P} - V_{\text{поч}}\).

Тепер підставимо це значення в формулу роботи:
\(W = P \cdot \left(\frac{n \cdot R \cdot \Delta T}{P} - V_{\text{поч}}\right)\).

Скоротимо P виразу:
\(W = n \cdot R \cdot \Delta T - P \cdot V_{\text{поч}}\).

Підставимо відомі значення:
\(W = 1 \cdot 8,3 \cdot 20 - 0,2 \cdot \frac{1 \cdot 8,3 \cdot 0}{0,2} = 166\) Дж.

Отже, 1 моль газу виконає роботу у 166 Дж при ізобарному розширенні.

3. Запишемо дані задачі:
\(V_1 = 20\) л (гаряча вода), \(T_1 = 80\) °C (температура гарячої води),
\(V_2 = 80\) л (холодна вода), \(T_2 = 20\) °C (температура холодної води).

Використовуючи закон збереження енергії, можна записати вираз:
\(m_1 \cdot c \cdot (T - T_1) = m_2 \cdot c \cdot (T_2 - T)\),
де \(m_1\) і \(m_2\) - маси гарячої та холодної води відповідно, \(c\) - специфічна теплоємність води, \(T\) - кінцева температура.

Враховуючи, що маса гарячої води \(m_1 = \frac{V_1}{1000}\) (переводимо літри у кілограми), а маса холодної води \(m_2 = \frac{V_2}{1000}\), ми можемо переписати рівняння:
\(\frac{V_1}{1000} \cdot c \cdot (T - T_1) = \frac{V_2}{1000} \cdot c \cdot (T_2 - T)\).

Спростивши рівняння, отримаємо:
\((T - T_1) = \frac{V_2}{V_1} \cdot (T_2 - T)\).

Розкриваючи дужки, отримаємо:
\(T - T_1 = \frac{V_2}{V_1} \cdot T_2 - \frac{V_2}{V_1} \cdot T\).

Групуючи члени з неізольованою \(T\), отримаємо:
\(T + \frac{V_2}{V_1} \cdot T = T_1 + \frac{V_2}{V_1} \cdot T_2\).

Загальний множник \(T\) зліва можна перенести на праву сторону рівності:
\(T \cdot \left(1 + \frac{V_2}{V_1}\right) = T_1 + \frac{V_2}{V_1} \cdot T_2\).

Розділимо обидві частини рівняння на коефіцієнт при \(T\):
\(T = \frac{T_1 + \frac{V_2}{V_1} \cdot T_2}{1 + \frac{V_2}{V_1}}\).

Підставимо відомі значення:
\(T = \frac{80 + \frac{80}{20} \cdot 20}{1 + \frac{80}{20}} = 40\) °C.

Отже, після встановлення теплової рівноваги температура води у ванні становитиме 40 °C.