На какой высоте над поверхностью Земли сила всемирного тяготения, действующая на тело, будет уменьшена в три раза?

Романович

5

Давайте решим эту задачу. Мы знаем, что сила всемирного тяготения на тело определяется формулой:

\[F = \frac{{G \cdot M \cdot m}}{{r^2}}\]

Где:
- \(F\) - сила всемирного тяготения,
- \(G\) - гравитационная постоянная,
- \(M\) - масса Земли,
- \(m\) - масса тела,
- \(r\) - расстояние от центра Земли до тела.

Мы знаем, что сила всемирного тяготения будет уменьшена в три раза, поэтому можем записать:

\[\frac{{G \cdot M \cdot m}}{{r^2}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{G \cdot M \cdot m}}{{(r + h)^2}}\]

Где \(h\) - изменение высоты над поверхностью Земли, на которой сила всемирного тяготения уменьшается в три раза.

Теперь, давайте проведем несколько преобразований для нахождения значения \(h\):

\[\frac{1}{3} \cdot \frac{{G \cdot M \cdot m}}{{(r + h)^2}} = \frac{{G \cdot M \cdot m}}{{r^2}}\]

\[\frac{1}{3} = \frac{{(r^2)}}{{(r + h)^2}}\]

Умножим обе части уравнения на \((r + h)^2\):

\[(r^2) = \frac{1}{3} \cdot (r + h)^2\]

Раскроем скобки:

\[(r^2) = \frac{1}{3} \cdot (r^2 + 2rh + h^2)\]

Упростим уравнение:

\[3 \cdot (r^2) = r^2 + 2rh + h^2\]

\[\cancel{3 \cdot (r^2)} - \cancel{r^2} = \cancel{r^2} + 2rh + h^2 - \cancel{r^2}\]

\[2 \cdot r \cdot h + h^2 = 2 \cdot r \cdot h + h \cdot h\]

Объединим подобные слагаемые:

\[h^2 = h^2\]

Таким образом, получается, что \(h^2 = h^2\), что верно для любого \(h\).

Это значит, что сила тяготения будет уменьшена в три раза на любой высоте над поверхностью Земли.

В заключение, на любой высоте над поверхностью Земли сила всемирного тяготения, действующая на тело, будет уменьшена в три раза.