1. Які значення має вираз sin 130° . cos 50° . tg 80° . cos 150° порівняно з нулем? 2. Яке рівняння описує коло

Moroznyy_Korol

69

Задача 1. Які значення має вираз sin 130° . cos 50° . tg 80° . cos 150° порівняно з нулем?

Давайте розглянемо кожен множник окремо:

sin 130°:
Для обчислення sin 130° ми використаємо властивість синуса, що sin(180° - α) = sin α. Таким чином, sin 130° = sin(180° - 50°) = sin 50°.

cos 50°:
Значення cos 50° можна знайти безпосередньо, оскільки ми не маємо властивостей, які допоможуть спростити вираз.

tg 80°:
Аналогічно до синуса, tg 80° можна знайти з використанням властивості tg(180° - α) = -tg α. Тому tg 80° = -tg(180° - 100°) = -tg 100°.

cos 150°:
Значення cos 150° можна знайти використовуючи властивість cos(180° + α) = -cos α. Тому cos 150° = -cos(180° - 30°) = -cos 30°.

Тепер, коли ми отримали значення кожного множника, ми можемо обчислити вираз:
sin 130° . cos 50° . tg 80° . cos 150° = sin 50° * cos 50° * -tg 100° * -cos 30°.

Результат буде повністю залежати від числових значень кожного множника. Для отримання точної відповіді потрібно обчислити значення кожного множника та перемножити їх разом. Оскільки у вас немає числових значень, я не можу дати конкретну відповідь. Але, наприклад, якщо значення кожного множника було дорівнює 1, то вираз буде рівний 1 * 1 * (-1) * (-1) = 1.

Тепер давайте порівняємо це з нулем. Якщо вираз дорівнює нулю, то це означає, що добуток всіх множників, що участь в цьому виразі, також дорівнює нулю. Таким чином, якщо вираз sin 130° . cos 50° . tg 80° . cos 150° рівний нулю, то один з множників повинен бути рівний нулю.

Задача 2. Яке рівняння описує коло з центром у точці А(-2; 3) і проходить через точку В(1; -1)?

Щоб знайти рівняння кола, нам необхідно знати координати центра кола та радіус. Відстань між центром кола А(-2; 3) і будь-якою точкою B(x, y) на колі дорівнює радіусу кола.

Використовуючи формулу відстані між двома точками, ми можемо обчислити радіус кола:
\(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

Замінюючи координати A(-2; 3) і B(1; -1), отримуємо:
\(\sqrt{(1 - (-2))^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

Отже, радіус кола дорівнює 5. Рівняння кола з центром у точці А(-2; 3) і радіусом 5 можна записати у вигляді:
\((x - (-2))^2 + (y - 3)^2 = 5^2\)

І після спрощення ми отримуємо окреме рівняння, що описує коло.

Задача 3. Яке рівняння медіани АМДАВС та яка її довжина, якщо А(-3; 2), B(4; 1), C(5; —4)?

Медіана - це відрізок, який з"єднує вершину трикутника з серединою протилежного йому ребра. Давайте знайдемо середину ребра BC, щоб знати його координати. Середина ребра BC може бути знайдена за допомогою формул середньої точки:
\(x_{\text{середина}} = \frac{{x_1 + x_2}}{2}\)
\(y_{\text{середина}} = \frac{{y_1 + y_2}}{2}\)

Підставляючи дані точок B(4; 1) і C(5; —4), отримуємо:
\(x_{\text{середина}} = \frac{{4 + 5}}{2} = \frac{9}{2}\)
\(y_{\text{середина}} = \frac{{1 + (-4)}}{2} = -\frac{3}{2}\)

Таким чином, середина ребра BC має координати (\(\frac{9}{2}\), -\(\frac{3}{2}\)).

Тепер, ми маємо координати точки A(-3; 2) і середини ребра BC (\(\frac{9}{2}\), -\(\frac{3}{2}\)).

Для побудови медіани AMDAVS ми повинні знайти середину ребра DA. Це буде точка з координатами:
\(x_{\text{середина}} = \frac{{x_1 + x_2}}{2}\)
\(y_{\text{середина}} = \frac{{y_1 + y_2}}{2}\)

Підставляючи дані точок A(-3; 2) і D(\(\frac{9}{2}\), -\(\frac{3}{2}\)), отримуємо:
\(x_{\text{середина}} = \frac{{-3 + \frac{9}{2}}}{2} = \frac{{-6 + 9}}{4} = \frac{3}{4}\)
\(y_{\text{середина}} = \frac{{2 + (-\frac{3}{2})}}{2} = \frac{{4 - 3}}{4} = \frac{1}{4}\)

Таким чином, середина ребра DA має координати (\(\frac{3}{4}\), \(\frac{1}{4}\)).

Отже, ми маємо дві точки: середину ребра BC (\(\frac{9}{2}\), -\(\frac{3}{2}\)) і середину ребра DA (\(\frac{3}{4}\), \(\frac{1}{4}\)).

Рівняння медіани АМДАВС можна записати у вигляді прямої за допомогою формули:
\(y - y_1 = m(x - x_1)\), де \(m\) - коефіцієнт наклона прямої, який може бути знайдений за допомогою двох точок на прямій:
\(m = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\)

Підставляючи дані точок (\(\frac{9}{2}\), -\(\frac{3}{2}\)) і (\(\frac{3}{4}\), \(\frac{1}{4}\)):
\(m = \frac{{-\frac{3}{2} - (\frac{1}{4})}}{{\frac{9}{2} - \frac{3}{4}}} = \frac{{-\frac{7}{4}}}{{\frac{33}{4}}} = -\frac{7}{33}\)

Отже, коефіцієнт наклона медіани АМДАВС дорівнює -\(\frac{7}{33}\).

Підставляючи дані точки A(-3; 2) та коефіцієнт наклона -\(\frac{7}{33}\) у рівняння прямої, отримуємо:
\(y - 2 = -\frac{7}{33}(x - (-3))\)
\(y - 2 = -\frac{7}{33}(x + 3)\)

Це є рівняння медіани АМДАВС.

Щоб обчислити довжину медіани АМДАВС, нам потрібно обчислити відстань між точками A(-3; 2) і серединою ребра DA (\(\frac{3}{4}\), \(\frac{1}{4}\)). Ми можемо використовувати формулу відстані між двома точками:
\(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

Підставляючи дані точок A(-3; 2) і (\(\frac{3}{4}\), \(\frac{1}{4}\)):
\(\sqrt{(\frac{3}{4} - (-3))^2 + (\frac{1}{4} - 2)^2} = \sqrt{(\frac{3}{4} + 3)^2 + (\frac{1}{4} - 8)^2} = \sqrt{(\frac{15}{4})^2 + (-\frac{31}{4})^2} = \sqrt{\frac{225}{16} + \frac{961}{16}} = \sqrt{\frac{1186}{16}} = \sqrt{\frac{593}{8}} \approx 9.678\)

Отже, довжина медіани АМДАВС приблизно дорівнює 9.678 (заокруглено до трьох знаків після коми).