1) Які значення радіуса кола, яке описується навколо трикутника, сторона якого дорівнює 10 дм, а прилеглі до неї кути

Yarost

48

Хорошо, рассмотрим каждую задачу по очереди.

1) Чтобы найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника, мы можем воспользоваться свойством этой окружности. Оно заключается в том, что радиус окружности, описанной вокруг треугольника, является перпендикуляром, проведенным из центра окружности к середине любой из сторон треугольника.

Здесь у нас есть треугольник со стороной 10 дм, а прилегающие к ней углы составляют 79° и 56°. Чтобы найти радиус, нам понадобятся некоторые тригонометрические соотношения.

Пусть M будет серединой стороны треугольника, обозначенной как AB, а O будет центром окружности. Нам нужно найти радиус, обозначенный как R.

Мы знаем, что угол AOM (полный угол) равен 90°, так как радиус является перпендикуляром к стороне треугольника AB.

Теперь можем воспользоваться тригонометрическими соотношениями, чтобы найти значение радиуса. Внимательно следуйте шагам:

a) Рассмотрим треугольник AOM. Из него мы можем найти угол OAM. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому OAM = 180° - AOM - AMO = 180° - 90° - 79° = 11°.

b) Воспользуемся тригонометрическим соотношением, связывающим тангенс угла OAM с отношениями сторон треугольника. Тангенс OAM равен отношению противолежащей стороны к прилежащей, то есть \( \tan(OAM) = \frac{AM}{OM} \).

c) Заменим значения, используя известные нам угол OAM (11°) и сторону AM (половина стороны треугольника AB, то есть 10 дм / 2 = 5 дм).

\[ \tan(11°) = \frac{5}{OM} \]

d) Теперь найдем значение OM, используя также тригонометрическое соотношение, связывающее тангенс угла OAM с противоположной стороной треугольника. Оно имеет вид \( \tan(OAM) = \frac{AV}{OM} \), где AV - апофема треугольника.

e) Заменим значения, используя известные нам угол OAM (11°) и стороны OA и AV.

\[ \tan(11°) = \frac{OA}{AV + OM} \]

f) Заменим значения OA (равно радиусу R) и AV, и найдем значение OM.

\[ \tan(11°) = \frac{R}{5 + OM} \]

g) Теперь найдем значение OM, выразив его через известные данные.

\begin{align*}
\tan(11°) &= \frac{R}{5 + OM} \\
5 + OM &= \frac{R}{\tan(11°)} \\
OM &= \frac{R}{\tan(11°)} - 5
\end{align*}

h) Вернемся к уравнению, описывающему тангенс угла OAM.

\[ \tan(11°) = \frac{5}{OM} \]

i) Подставим значение OM из предыдущего шага.

\[ \tan(11°) = \frac{5}{\frac{R}{\tan(11°)} - 5} \]

j) Теперь найдем значение R, изолируя его в правой части уравнения. То есть, найдем обратную функцию тангенса и решим полученное уравнение для R.

\[ R = \frac{5}{\tan(11°)} + 5\tan(11°) \approx 6.61 \, \text{дм} \]

Ответ: Радиус окружности, описанной вокруг треугольника с заданными углами и сторонами, примерно равен 6.61 дм.

Теперь перейдем ко второй задаче.

2) Чтобы найти радиус окружности, вписанной в треугольник, мы можем использовать формулу для радиуса вписанной окружности. Формула имеет вид \( r = \frac{2S}{P} \), где S - площадь треугольника, а P - его периметр.

У нас есть треугольник со сторонами 8 дм, 5 дм и \(x\) дм. Периметр P равен сумме длин сторон, то есть \(8 + 5 + x\), а площадь S можно найти, используя формулу Герона. Формула Герона имеет вид \( S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \), где p - полупериметр треугольника, a, b и c - длины сторон треугольника.

a) Найдем полупериметр \(p\).

\[ p = \frac{8 + 5 + x}{2} = \frac{13 + x}{2} \]

b) Теперь найдем площадь S, используя формулу Герона.

\[ S = \sqrt{ \frac{13 + x}{2} \left( \frac{13 + x}{2} - 8 \right) \left( \frac{13 + x}{2} - 5 \right) \left( \frac{13 + x}{2} - x \right) } \]

c) Вычислим площадь S, упростив выражение внутри корня.

\[ S = \sqrt{ \frac{(13 + x)(3 - x)x}{8} } \]

d) Теперь найдем радиус r, подставив найденную площадь S и периметр P в формулу для радиуса вписанной окружности.

\[ r = \frac{2S}{P} = \frac{2 \sqrt{ \frac{(13 + x)(3 - x)x}{8} }}{8 + 5 + x} \]

Ответ: Радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 8 дм, 5 дм и \(x\) дм, выражается формулой \( r = \frac{2 \sqrt{ \frac{(13 + x)(3 - x)x}{8} }}{13 + x} \).