1) Яким буде радіус кола, яке описує шестикутник a1b1c1d1e1f1, якщо периметр шестикутника abcdef становить 36 см?

Bulka

33

Хорошо, давайте решим поставленные задачи по очереди.

1) Для начала, давайте определим, что такое радиус описанного круга. Радиус описанного круга - это расстояние от центра круга до любой его точки на окружности.

Чтобы найти радиус описанного круга для шестиугольника \(a1b1c1d1e1f1\), нам нужно знать его периметр.

Периметр шестиугольника \(abcdef\) равняется 36 см, поэтому каждая его сторона должна быть равна \(\frac{36 \, см}{6} = 6 \, см\).

Так как шестиугольник \(a1b1c1d1e1f1\) вписан в описанный круг, то радиус этого круга будет равен расстоянию от его центра до любой его вершины - например, от центра до точки \(a1\).

Так как шестиугольник равносторонний (все его стороны равны между собой), то ребро \(a1a\) будет равно 6 см.

\[a1a = 6 \, см\]

Радиус описанного круга - это расстояние от центра до середины стороны \(a1a\). Так как шестиугольник равносторонний, то середина стороны равносильно высоте \(h\), опущенной на эту сторону.

Чтобы найти высоту треугольника \(a1a\), можно воспользоваться теоремой Пифагора.

Так как у треугольника \(a1a\) две равные стороны (6 см), то его высота будет равна \(\sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\).

Таким образом, радиус описанного круга будет равен высоте \(h\).

\[h = 3\sqrt{3} \, см\]

Ответ: Радиус описанного круга шестиугольника \(a1b1c1d1e1f1\) равен \(3\sqrt{3} \, см\).

2) Теперь давайте вычислим площадь шестиугольника \(a1b1c1d1e1f1\). Чтобы это сделать, мы можем разбить шестиугольник на шесть равносторонних треугольников и затем сложить их площади.

Каждый из этих треугольников - это равносторонний треугольник со стороной длиной 6 см.

Чтобы найти площадь равностороннего треугольника, мы можем воспользоваться формулой для площади треугольника:

\[S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2\]

Где \(S\) - площадь, \(\sqrt{3}\) - корень из 3 и \(a\) - длина стороны треугольника.

Подставив значения, получим:

\[S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 = 9\sqrt{3} \, см^2\]

Так как шестиугольник состоит из шести таких треугольников, то площадь шестиугольника будет равна:

\[S_{\text{шестиугольника}} = 6 \cdot 9\sqrt{3} = 54\sqrt{3} \, см^2\]

Ответ: Площадь шестиугольника \(a1b1c1d1e1f1\) равна \(54\sqrt{3} \, см^2\).