Найти длину катетов прямоугольного треугольника, если гипотенуза равна 20 см и косинус одного из острых углов равен

Милашка_4654

36

Для решения данной задачи мы будем использовать теорему косинусов. Данная теорема устанавливает взаимосвязь между длинами сторон треугольника и косинусами его углов.

Теорема косинусов гласит: в треугольнике со сторонами \(a\), \(b\) и \(c\) и углом \(\alpha\) против стороны \(a\) выполняется следующее соотношение:

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\alpha)\]

В нашем случае у нас есть прямоугольный треугольник, поэтому один из углов является прямым углом и равен 90°. Обозначим один из острых углов как \(\alpha\). Также известно, что гипотенуза равна 20 см. Обозначим катеты как \(a\) и \(b\).

Мы знаем, что косинус прямого угла равен 0, поэтому можем записать уравнение:

\[a^2 = b^2 + 20^2 - 2 \cdot b \cdot 20 \cdot \cos(\alpha)\]

Теперь нам нужно найти значение косинуса угла \(\alpha\). У нас нет прямых данных о данным угле, поэтому мы не можем найти его точное значение только по формуле. Но мы можем найти тригонометрическое соотношение, которое включает косинус этого угла.

Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти значение синуса или косинуса острого угла треугольника. Катеты в прямоугольном треугольнике взаимно перпендикулярны, поэтому \(\sin(\alpha)\) будет равен отношению длины катета к длине гипотенузы, и \(\cos(\alpha)\) будет равен отношению второго катета к длине гипотенузы.

В нашем случае \(\cos(\alpha)\) равен \(\frac{a}{20}\).

Теперь подставим это значение в уравнение:

\[a^2 = b^2 + 20^2 - 2 \cdot b \cdot 20 \cdot \frac{a}{20}\]

Затем упростим и решим полученное уравнение:

\[a^2 = b^2 + 400 - 2ba\]

Выразим \(b\) из этого уравнения:

\[b^2 - 2ba + a^2 - 400 = 0\]

Теперь нам нужно найти значения \(a\) и \(b\), которые удовлетворяют этому квадратному уравнению. Такие значения могут быть найдены с использованием формулы для корней квадратного уравнения.

Квадратное уравнение имеет два корня, которые могут быть найдены по формуле:

\[b = \frac{-D \pm \sqrt{D^2 - 4ac}}{2a}\]

Где \(D\) - дискриминант, который равен \(D = b^2 - 4ac\).

В нашем случае \(a = 1\), \(b = -2a\), \(c = a^2 - 400\).

Теперь подставим значения в формулу для \(D\):

\[D = (-2a)^2 - 4 \cdot a \cdot (a^2 - 400)\]

\[D = 4a^2 - 4(a^3 - 400a)\]

\[D = 4a^2 - 4a^3 + 1600a\]

Теперь подставим значения \(D\) в формулу для корней:

\[b = \frac{-(-2a) \pm \sqrt{(4a^2 - 4a^3 + 1600a)}}{2 \cdot 1}\]

\[b = \frac{2a \pm \sqrt{4a^2 - 4a^3 + 1600a}}{2}\]

Следовательно, мы получили два значения для \(b\):

\[b_1 = \frac{a + \sqrt{a^2 - a^3 + 400a}}{2}\]

\[b_2 = \frac{a - \sqrt{a^2 - a^3 + 400a}}{2}\]

Теперь мы можем найти значения \(a\) и \(b\) исходя из этих формул.

С его помощью можно найти значение катетов прямоугольного треугольника, когда известно, что гипотенуза равна 20 см и косинус одного из острых углов равен \(\frac{a}{20}\). Ответом будут формулы для прямоугольных треугольников, включающих корень.