1) Яким буде розмір ребра прямокутного паралелепіпеда, складеного з чотирьох рівних кубів, якщо площа повної поверхні

Dozhd

27

1) Щоб знайти розмір ребра прямокутного паралелепіпеда, необхідно спочатку знайти довжину сторони куба, який складається з цього паралелепіпеда.
Площа повної поверхні паралелепіпеда обчислюється за формулою: \(2(ab+bc+ca)\), де \(a\), \(b\) і \(c\) - це розміри сторін паралелепіпеда.
Так як у нас паралелепіпед складається з чотирьох рівних кубів, то \(a=b=c\), тобто всі сторони паралелепіпеда однакові.
Підставимо значення в формулу: \(2(3a^2)=2a^2=2\).
Розділимо обидві частини на 2: \(a^2=1\).
Знайдемо квадратний корінь з обох сторін: \(a=\pm\sqrt{1}\).
Отримали два значення ребра куба: \(a=1\) або \(a=-1\).
Так як довжина сторони не може бути від"ємною, то \(a=1\).
Отже, розмір ребра паралелепіпеда складеного з чотирьох рівних кубів дорівнює 1.

2) Для знаходження розмірів сторін основи паралелепіпеда потрібно вирішити наступну систему рівнянь:
\[
\begin{cases}
\cos(30^\circ)=\frac{a}{d_1} \\
\frac{1}{2}d_1 d_2=8^2 \\
\end{cases}
\]
де \(a\) - довжина сторони основи паралелепіпеда, \(d_1\) і \(d_2\) - діагоналі основи паралелепіпеда.
Обчислимо значення \(a\):
\[
\cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a}{d_1} \Rightarrow a=\frac{\sqrt{3}}{2}d_1
\]
Підставимо це значення в друге рівняння:
\[
\frac{1}{2}d_1 d_2=8^2
\]
\[
\frac{1}{2}d_1 \cdot \sqrt{d_1^2+a^2}=8^2
\]
\[
4d_1 \cdot \sqrt{d_1^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}d_1\right)^2}=8^2
\]
\[
8d_1 \sqrt{d_1^2+\frac{3}{4}d_1^2}=64
\]
\[
8d_1 \sqrt{\frac{7}{4}d_1^2}=64
\]
Розділимо обидві частини на 8:
\[
d_1 \sqrt{\frac{7}{4}d_1^2}=8
\]
Піднесемо обидві частини до квадрату:
\[
\frac{7}{4}d_1^2=\left(\frac{8}{d_1}\right)^2
\]
Перепишемо усе у форматі рівняння:
\[
7d_1^4=64^2 \cdot 4
\]
\[
7d_1^4=64^2 \cdot 2^2
\]
\[
7d_1^4=4096 \cdot 4
\]
\[
d_1^4=\frac{4096 \cdot 4}{7}
\]
\[
d_1=\sqrt[4]{\frac{4096 \cdot 4}{7}}
\]
\[
d_1=\sqrt[4]{\frac{16384}{7}}
\]
\[
d_1=\sqrt[4]{2340.5714285}
\]
\[
d_1\approx 6.167
\]
Тепер знаємо значення \(d_1\). Підставимо його у перше рівняння:
\[
a=\frac{\sqrt{3}}{2}d_1 \approx \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 6.167 \approx 5.34
\]
Отже, розміри сторін основи паралелепіпеда приблизно дорівнюють 6.167 і 5.34.
Зараз знайдемо площу повної поверхні паралелепіпеда. Обчислимо суму площ бокових поверхонь і верхньої та нижньої основ:
\[
S_{\text{{повн. пов.}}} = 2(ab+bc+ca)
\]
Де \(a\) і \(b\) - довжина і ширина основи паралелепіпеда, а \(c\) - висота.
Підставимо значення:
\[
S_{\text{{повн. пов.}}} = 2(6.167 \cdot 5.34 + 6.167 \cdot 6.167 + 5.34 \cdot 6.167)
\]
\[
S_{\text{{повн. пов.}}} \approx 2(32.867 + 37.914 + 32.867)=2(103.648) \approx 207.296
\]
Отже, площа повної поверхні цього паралелепіпеда приблизно дорівнює 207.296.