1) Является ли число корень из 5 комплексным? 2) Является ли число а, такое что а^2=-4, действительным? 3) Является

Lunya

56

1) Чтобы определить, является ли число корнем из 5 комплексным, давайте предположим, что это число \( x \) является корнем из 5 и запишем его в алгебраической форме: \( x = a + bi \), где \( a \) и \( b \) - действительные числа, а \( i \) - мнимая единица. Тогда мы можем возвести \( x \) в квадрат:

\[ x^2 = (a + bi)^2 = a^2 + 2abi + b^2i^2 = a^2 - b^2 + 2abi \]

Обратите внимание, что мы используем свойство \( i^2 = -1 \). Теперь у нас есть выражение в виде \( x^2 = a^2 - b^2 + 2abi \). Чтобы число \( x \) было корнем из 5, необходимо, чтобы \( x^2 = 5 \). Сравнивая коэффициенты действительной и мнимой частей, получаем систему уравнений:

\[ a^2 - b^2 = 5 \]
\[ 2ab = 0 \]

Второе уравнение говорит нам, что \( ab = 0 \). Это может выполняться только в двух случаях: либо \( a = 0 \), либо \( b = 0 \). Рассмотрим эти два случая по отдельности:

a) Если \( a = 0 \), то первое уравнение принимает вид \( -b^2 = 5 \), что является невозможным, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

b) Если \( b = 0 \), то первое уравнение превращается в \( a^2 = 5 \). Это также невозможно, так как не существует действительного числа, квадрат которого был бы равен 5.

Таким образом, нет такого числа \( x \), которое было бы корнем из 5 в алгебраической форме \( a + bi \), где \( a \) и \( b \) - действительные числа. Значит, число корнем из 5 является комплексным числом.

2) Чтобы определить, является ли число \( a \), такое что \( a^2 = -4 \), действительным, давайте рассмотрим соответствующие условия. Для этого возведем число \( a \) в квадрат:

\[ a^2 = (-4) \]

Теперь рассмотрим два возможных случая:

a) Если существует такое действительное число \( a \), которое при возведении в квадрат дает -4, то мы можем записать это число как \( a = \pm \sqrt{-4} \).

b) Однако, квадрат отрицательного числа всегда будет положительным числом. То есть, \( (\sqrt{-4})^2 \) будет равно 4, а не -4.

Итак, мы видим, что нет действительного числа \( a \), которое бы при возведении в квадрат давало -4. Значит, число \( a \), такое что \( a^2 = -4 \), является комплексным числом.

3) Чтобы определить, является ли число \( a \), такое что \( a^4 = 1 \), действительным, давайте рассмотрим условие более подробно. Возводя число \( a \) в четвертую степень, получаем:

\[ a^4 = (a^2)^2 = (1)^2 = 1 \]

То есть, мы видим, что числу \( a \) соответствует значение 1 при возведении в четвертую степень. Это единственное решение, которое удовлетворяет условию. Значит, число \( a \) является действительным.

4) Чтобы определить, можно ли разложить многочлен \( x^2 + 4 \) на линейные множители с комплексными коэффициентами, давайте вспомним, что условие для разложения многочлена на линейные множители является наличие комплексного корня. То есть, нужно найти такое значение \( x \), при котором многочлен \( x^2 + 4 \) равен нулю:

\[ x^2 + 4 = 0 \]

Вычитая 4 из обеих сторон, получим:

\[ x^2 = -4 \]

Из предыдущего ответа мы знаем, что число, квадрат которого равен -4, является комплексным числом. Таким образом, многочлен \( x^2 + 4 \) можно разложить на линейные множители с комплексными коэффициентами.

5) Чтобы определить, лежат ли точки плоскости, удовлетворяющие условию \( |z-1|=2 \), на окружности радиуса 1, давайте рассмотрим данное условие более подробно. Здесь \( z \) представляет собой комплексное число, которое могут задавать точки плоскости.

Условие \( |z-1|=2 \) означает, что расстояние от точки \( z \) до точки \( 1 \) равно 2. Так как мы говорим о плоскости, где комплексные числа представляют собой точки, мы можем переписать это условие в виде:

\[ \sqrt{(x-1)^2 + y^2} = 2 \]

где \( x \) и \( y \) - действительные числа, представляющие координаты точки \( z \) в плоскости. Возведя это уравнение в квадрат и упростив, получаем:

\[ (x-1)^2 + y^2 = 4 \]

Это уравнение представляет окружность с центром в точке \( (1, 0) \) и радиусом 2. Итак, точки плоскости, удовлетворяющие условию \( |z-1|=2 \), действительно лежат на окружности радиуса 1.

6) Если комплексное число равно своему сопряженному, то оно является действительным. Давайте предположим, что данное комплексное число имеет вид \( z = a + bi \), где \( a \) и \( b \) - действительные числа. Сопряженное число будет иметь вид \( \overline{z} = a - bi \).

Если \( z = \overline{z} \), то это означает, что \( a + bi = a - bi \). Сравнивая действительные и мнимые части, мы видим, что мнимая часть отсутствует (\( b = -b \)), что происходит только тогда, когда \( b = 0 \). Таким образом, комплексное число, равное своему сопряженному, имеет вид \( z = a \) и является действительным числом.

7) Если \( Ż = -z \), то чтобы определить, равна ли действительная часть \( z \) нулю, давайте представим \( z \) в алгебраической форме \( z = a + bi \), где \( a \) и \( b \) - действительные числа. Затем подставим это выражение в уравнение:

\[ -z = -a - bi \]

Теперь мы видим, что действительная часть числа \( -z \) равна \( -a \). Чтобы определить, равна ли она нулю, необходимо \( -a = 0 \). Таким образом, действительная часть \( z \) равна нулю, когда \( a = 0 \).