Докажите, что если xz кратно (z-y), то xy также кратно (z-y

Yarilo

6

Хорошо, давайте решим эту задачу. Мы должны доказать, что если \(xz\) кратно \((z-y)\), то \(xy\) также будет кратно \((z-y)\).

Для начала, давайте определим, что значит "кратно". Если одно число является кратным другого числа, это означает, что оно делится на это число без остатка.

Теперь, давайте предположим, что \(xz\) кратно \((z-y)\). Это значит, что существует целое число \(k\), такое что \(xz = k(z-y)\).

Мы хотим доказать, что \(xy\) также кратно \((z-y)\). Для этого, мы должны доказать, что существует целое число \(m\), такое что \(xy = m(z-y)\).

Чтобы это сделать, мы можем воспользоваться фактом, что \(xz = k(z-y)\). Раскрывая скобки, имеем: \(xz = kz - ky\).

Теперь мы хотим выразить \(xy\) через \(z-y\). Заметим, что \(xz = kz - ky\) можно переписать в виде \(xy = z(x-y) - ky\).

Теперь давайте подставим \(z(x-y)\) вместо \(xz\) в равенство \(xz = kz - ky\). Получим:
\[xy = z(x-y) - ky\]

Теперь мы видим, что \(xy\) можно представить в виде разности двух произведений: \(xy = z(x-y) - ky\).

Заметим, что правая часть равенства также содержит \((z-y)\). Давайте это проверим:

\[xy = z(x-y) - ky = zx - zy - ky = zx - (zy + ky)\]

Теперь мы видим, что правая часть равенства содержит сумму \((zy + ky)\), которую мы можем переписать в виде \((z+y)k\). Таким образом, мы получаем:

\[xy = zx - (zy + ky) = zx - (z+y)k\]

Теперь давайте выделим общий множитель \((z-y)\) в выражении \(zx - (z+y)k\):

\[xy = zx - (z+y)k = (z - y)x - (z+y)k\]

Таким образом, мы видим, что \(xy\) можно представить в виде разности двух произведений \((z - y)x - (z+y)k\), где первое произведение \((z - y)x\) содержит множитель \((z - y)\). Следовательно, мы можем заключить, что \(xy\) кратно \((z - y)\).

Это завершает наше доказательство. Мы показали, что если \(xz\) кратно \((z-y)\), то \(xy\) также будет кратно \((z-y)\).