1. За карактеристика уравнении Горнера, определіті недостаточна частка і залишок від ділення полінома А (х) на двочлена

Blestyaschaya_Koroleva

24

Хорошо! Давайте начнем с первой задачи.

1. Для решения этой задачи, нам необходимо использовать теорему деления многочленов Горнера. Дано полином А(х) и двочлен В(х), и нам нужно найти характеристику уравнения Горнера, а именно остаток и недостаточную часть.

Полином А(х) = х^3 + 3х^2 + 3х + 1, а двочлен В(х) = х + 1.

Сначала определим уравнение Горнера, подставив -1 вместо х в полином В(х):

$В(-1)=(-1)+1=0$

Таким образом, х + 1 делит А(х) без остатка, поскольку оно имеет -1 как корень.

Теперь рассмотрим второй пример:

Полином А(х) = 5х^3 – 26х^2 + 25х – 4, а двочлен В(х) = х – 5.

Подставляем 5 вместо х в полином В(х):

$В(5)=(5)-5=0$

Значит, х - 5 также делит А(х) без остатка.

Теперь рассмотрим третий пример:

Полином А(х) = х^4 – 15х^2 + 10х + 24, а двочлен В(х) = х + 3.

Подставляем -3 вместо х в полином В(х):

$В(-3)=(-3)+3=0$

Следовательно, х + 3 также делит А(х) без остатка.

Таким образом, во всех трех примерах двочлены В(х) делят полиномы А(х) без остатка, и характеристики уравнения Горнера состоят только из нулей.

Перейдем ко второй задаче.

2. Для проверки, делится ли полином f(x) на двочлен q(x), мы должны подставить значение, указанное в q(x), в полином f(x). Если результат равен нулю, то q(x) делит f(x) без остатка.

В первом примере:

Полином f(единица) = 4х^3 – х^2 – 27х – 18, а двочлен q(единица) = x + 2.

Подставляем 1 вместо х в полином f(x):

$f(1)=4(1{)}^3–(1{)}^2–27(1)–18=4–1–27–18=-42$

Таким образом, q(1) = 1 + 2 не делит f(1) = -42 без остатка.

Во втором примере:

Полином f(единица) = х^4 – 8х^3 + 15х^2 + 4х – 20, а двочлен q(единица) = x – 2.

Подставляем 1 вместо х в полином f(x):

$f(1)=(1{)}^4–8(1{)}^3+15(1{)}^2+4(1)–20=1–8+15+4–20=-8$

Значит, q(1) = 1 - 2 также не делит f(1) = -8 без остатка.

Теперь перейдем к третьей задаче.

3. Чтобы разделить полином А(ы) на двочлен В(ы), мы используем метод долгого деления.

Дано А(ы) = 2х^3 – 19х^2 + 32х + 21, и B(ы) = х – 7.

Сначала мы делим первый член полинома А(ы) на первый член полинома B(ы), чтобы получить квоциент:

$\frac{2{х}^3}{х}=2{х}^2$

Теперь мы перемножаем В(ы) на квоциент 2х^2:

$2{х}^2\cdot (х-7)=2{х}^3-14{х}^2$

Затем мы вычитаем полученное выражение из исходного полинома А(ы):

$А(ы)-(2{х}^3-14{х}^2)=-5{х}^2+32х+21$

Теперь мы повторяем процесс. Делим первый член нового полинома (-5х^2) на первый член B(ы) (х):

$\frac{-5{х}^2}{х}=-5х$

Перемножаем В(ы) на полученный квоциент (-5х):

$-5х\cdot (х-7)=-5{х}^2+35х$

Вычитаем полученное выражение из предыдущего полинома:

$(-5{х}^2+32х+21)-(-5{х}^2+35х)=-3х-21$

Теперь делим первый член нового полинома (-3х) на первый член B(ы) (х):

$\frac{-3х}{х}=-3$

Перемножаем В(ы) со скобкой на полученный квоциент (-3):

$-3\cdot (х-7)=-3х+21$

Вычитаем полученное выражение из предыдущего полинома:

$(-3х-21)-(-3х+21)=0$

Таким образом, мы получаем нулевой остаток, что говорит о том, что двочлен В(ы) = х - 7 делит полином А(ы) = 2х^3 – 19х^2 + 32х + 21 без остатка.

Деление многочлена завершено.