1001.* Решите неравенства и представьте множество целых чисел, являющихся их решениями: 1) Найдите значения x, которые

Kseniya

33

1) Начнем с первого неравенства: \(2 < |x + 1| < 5\). Чтобы решить его, воспользуемся определением модуля. Модуль числа \(a\) (обозначается как \(|a|\)) - это расстояние от числа \(a\) до нуля на числовой прямой, то есть \(|a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \geq 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases}\).

Переформулируем первое неравенство: \(|x + 1| > 2\) и \(|x + 1| < 5\). Разбиваем его на два неравенства относительно модуля: \(x + 1 > 2\) и \(x + 1 < -2\), либо \(-2 < x + 1 < 2\).

1.1) Решим первое неравенство \(x + 1 > 2\):
\(x > 1 - 1\)
\(x > 0\)

1.2) Решим второе неравенство \(x + 1 < -2\):
\(x < -2 - 1\)
\(x < -3\)

1.3) Решим третье неравенство \(-2 < x + 1 < 2\):
Отнимем единицу от каждой части: \(-3 < x < 1\)

Теперь найдем множество целых чисел, которые удовлетворяют первому неравенству. Видим, что \(x\) должно быть больше нуля, но меньше 1, не включая сами граничные значения. То есть множество решений - все целые числа от 1 до 0 не включительно, т.е. \(\{x \in \mathbb{Z} | 0 < x < 1\}\).

2) Перейдем ко второму неравенству: \(1,7 < |3 - x| < 4\). Аналогично первому заданию, разобьем его на два неравенства: \(|3 - x| > 1,7\) и \(|3 - x| < 4\).

2.1) Решим первое неравенство \(|3 - x| > 1,7\):
\(3 - x > 1,7\) и \(3 - x < -1,7\), либо \(-1,7 < 3 - x < 1,7\).

2.1.1) Решим первую часть неравенства \(3 - x > 1,7\):
\(-x > 1,7 - 3\)
\(-x > -1,3\)
\(x < 1,3\) (обратим знак неравенства, помни, что меняем его направление при умножении обеих частей на отрицательное число)

2.1.2) Решим вторую часть неравенства \(3 - x < -1,7\):
\(-x < -1,7 - 3\)
\(-x < -4,7\)
\(x > 4,7\) (опять меняем знак)

2.1.3) Решим третью часть неравенства \(-1,7 < 3 - x < 1,7\):
Вычтем 3 из каждой части: \(-4,7 < -x < -1,3\) (меняем знаки неравенств)

Теперь рассмотрим второе неравенство \(|3 - x| < 4\).

2.2) Решим неравенство \(|3 - x| < 4\):
Это неравенство имеет две части: \(3 - x < 4\) и \(3 - x > -4\), т.е. \(-4 < 3 - x < 4\).

2.2.1) Решим первую часть неравенства \(3 - x < 4\):
\(-x < 4 - 3\)
\(-x < 1\)
\(x > -1\) (помним про изменение направления неравенства)

2.2.2) Решим вторую часть неравенства \(3 - x > -4\):
\(-x > -4 - 3\)
\(-x > -7\)
\(x < 7\) (изменили знак)

2.2.3) Решим третью часть неравенства \(-4 < 3 - x < 4\):
Отнимем 3 от каждой части: \(-7 < -x < 1\) (меняем знаки неравенств)

В итоге получаем, что \(x\) должно быть больше -1 и меньше 7, не включая границы. То есть множество целых чисел, которые удовлетворяют второму неравенству - все целые числа от -1 до 7 не включительно, т.е. \(\{x \in \mathbb{Z} | -1 < x < 7\}\).

3) Перейдем к третьему неравенству: \(2,3 < |x - 4| < 6\). Аналогично разобьем его на два неравенства: \(|x - 4| > 2,3\) и \(|x - 4| < 6\).

3.1) Решим первое неравенство \(|x - 4| > 2,3\):
\(x - 4 > 2,3\) и \(x - 4 < -2,3\), либо \(-2,3 < x - 4 < 2,3\).

3.1.1) Решим первую часть неравенства \(x - 4 > 2,3\):
\(x > 2,3 + 4\)
\(x > 6,3\)

3.1.2) Решим вторую часть неравенства \(x - 4 < -2,3\):
\(x < -2,3 + 4\)
\(x < 1,7\)

3.1.3) Решим третью часть неравенства \(-2,3 < x - 4 < 2,3\):
Добавим 4 к каждой части: \(1,7 < x < 6,3\)

Теперь рассмотрим второе неравенство \(|x - 4| < 6\).

3.2) Решим неравенство \(|x - 4| < 6\):
Это неравенство имеет две части: \(x - 4 < 6\) и \(x - 4 > -6\), то есть \(-6 < x - 4 < 6\).

3.2.1) Решим первую часть неравенства \(x - 4 < 6\):
\(x < 6 + 4\)
\(x < 10\)

3.2.2) Решим вторую часть неравенства \(x - 4 > -6\):
\(x > -6 + 4\)
\(x > -2\)

3.2.3) Решим третью часть неравенства \(-6 < x - 4 < 6\):
Добавим 4 к каждой части: \(-2 < x < 10\)

В итоге получаем, что \(x\) должно быть больше -2 и меньше 10, не включая границы. То есть множество целых чисел, которые удовлетворяют третьему неравенству - все целые числа от -2 до 10 не включительно, т.е. \(\{x \in \mathbb{Z} | -2 < x < 10\}\).

Аналогичным образом решим оставшиеся неравенства:

4) Для \(1,6 < |x - 1| < 3\) множество целых чисел, которые удовлетворяют неравенству - \(\{x \in \mathbb{Z} | -1 < x < 0 \text{ или } 2 < x < 3\}\).

5) Для \(4,5 < |x + 3| < 7\) множество целых чисел, которые удовлетворяют неравенству - \(\{x \in \mathbb{Z} | -10 < x < -6 \text{ или } 1 < x < 4\}\).

6) Для \(3,2 < |x + 2|\) множество целых чисел, которые удовлетворяют неравенству - \(\{x \in \mathbb{Z} | -5 < x < 2\}\).

Надеюсь, ответы помогут вам понять решение данных неравенств! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задать их.