10th grade. In a certain school, more than 90% of students know English and German languages, and more than

Мистический_Подвижник

9

Для доказательства данного утверждения мы можем использовать метод включений и исключений. Давайте проведем рассуждения шаг за шагом:

Пусть \( A \) обозначает множество студентов, знающих английский и немецкий языки, \( B \) - множество студентов, знающих английский и французский языки, и \( C \) - множество студентов, знающих немецкий и французский языки. Нам известно, что более 90% студентов знают английский и немецкий языки, а также более 90% студентов знают английский и французский языки. Мы хотим доказать, что более 90% студентов, знающих немецкий и французский языки, также знают английский язык.

Мы можем использовать формулу включений и исключений для подсчета количества элементов в объединении множеств \( A \), \( B \) и \( C \):

\[
|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|
\]

Теперь давайте проанализируем каждую часть формулы по шагам:

1. \( |A| \) - количество студентов, знающих английский и немецкий языки.
2. \( |B| \) - количество студентов, знающих английский и французский языки.
3. \( |C| \) - количество студентов, знающих немецкий и французский языки.
4. \( |A \cap B| \) - количество студентов, знающих одновременно английский, немецкий и французский языки.
5. \( |A \cap C| \) - количество студентов, знающих английский и немецкий языки, но не знающих французский язык.
6. \( |B \cap C| \) - количество студентов, знающих английский и французский языки, но не знающих немецкий язык.
7. \( |A \cap B \cap C| \) - количество студентов, знающих одновременно английский, немецкий и французский языки.

Мы знаем, что более 90% студентов знают английский и немецкий языки, а также более 90% студентов знают английский и французский языки. Поэтому:

\[
\frac{{|A|}}{{\text{{total number of students}}}} > 0.9 \quad \text{{(условие 1)}}
\]
\[
\frac{{|B|}}{{\text{{total number of students}}}} > 0.9 \quad \text{{(условие 2)}}
\]

Теперь давайте докажем, что более 90% студентов, знающих немецкий и французский языки, также знают английский язык. Для этого мы должны показать, что:

\[
\frac{{|C| - |A \cap B \cap C|}}{{\text{{total number of students}}}} > 0.9 \quad \text{{(утверждение)}}
\]

Чтобы доказать это, мы можем переписать утверждение в следующем виде:

\[
|C| > 0.9 \cdot \text{{total number of students}} + |A \cap B \cap C|
\]

Теперь давайте рассмотрим случай, когда все студенты, знающие немецкий и французский языки, также знают английский язык. В этом случае \( |A \cap B \cap C| = |C| \) и уравнение может быть записано следующим образом:

\[
|C| > 0.9 \cdot \text{{total number of students}} + |C|
\]

Так как \( |C| > 0.9 \cdot \text{{total number of students}} \), утверждение верно.

Таким образом, мы доказали, что более 90% студентов, знающих немецкий и французский языки, также знают английский язык.