Какое максимальное значение может иметь выражение: 24/|x+3|+|1-x|? а. 24 b. 8 c. 4 d. 6 e. 12. Я прошу предоставить

Petr

21

Для решения данной задачи необходимо найти максимальное значение выражения \(24/|x+3|+|1-x|\). Для начала, рассмотрим случай, когда \(x\) положительное число.

Когда \(x\) положительное, то выражение \(|x+3|\) будет равно \(x+3\), а выражение \(|1-x|\) будет равно \(1-x\). Таким образом, мы можем переписать данное выражение в следующем виде:

\[24/(x+3) + (1-x)\]

Для максимизации значения этой функции, нам необходимо найти критические точки (то есть точки, где производная равна нулю или не существует). Рассчитаем производную и найдем критические точки:

\[\frac{d}{dx} \left(24/(x+3) + (1-x)\right) = 0\]

Для удобства вычислений, умножим оба члена уравнения на \((x+3)\):

\[24 - (x+3) = 0\]

Раскроем скобки и перенесем все переменные на одну сторону:

\[24 - x - 3 = 0\]
\[21 - x = 0\]
\[x = 21\]

Теперь, чтобы убедиться, что это действительно точка экстремума, найдем вторую производную:

\[\frac{d^2}{dx^2} \left(24/(x+3) + (1-x)\right) = -1\]

Поскольку вторая производная отрицательна, мы можем утверждать, что найденная точка \(x = 21\) является точкой максимума.

Следовательно, при положительных значениях \(x\) максимальное значение выражения будет достигаться при \(x = 21\) и будет равно:

\[24/(21+3) + (1-21) = 24/24 + (-20) = 1 - 20 = -19\]

Теперь рассмотрим случай, когда \(x\) является отрицательным числом. В этом случае, \(|x+3|\) будет равно \(-(x+3)\), а \(|1-x|\) будет равно \(1-x\). Выражение примет следующий вид:

\[24/(-(x+3)) + (1-x)\]

Упростим это выражение:

\[-24/(x+3) + (1-x)\]

Снова найдем критические точки:

\[\frac{d}{dx} \left(-24/(x+3) + (1-x)\right) = 0\]

Умножим оба члена уравнения на \(-(x+3)\):

\[-24 - (x+3) = 0\]

Раскроем скобки и решим уравнение:

\[-27 - x = 0\]
\[x = -27\]

Поскольку найденная точка \(x = -27\) является точкой экстремума, убедимся в этом, вычислив вторую производную:

\[\frac{d^2}{dx^2} \left(-24/(x+3) + (1-x)\right) = -1\]

Вторая производная также оказывается отрицательной, поэтому точка \(x = -27\) является точкой максимума.

Таким образом, при отрицательных значениях \(x\) максимальное значение выражения будет достигаться при \(x = -27\) и будет равно:

\[24/(-27+3) + (1+27) = 24/-24 + 28 = -1 + 28 = 27\]

Исходя из этих результатов, мы можем заключить, что максимальное значение выражения \(24/|x+3|+|1-x|\) равно 27 при \(x = -27\), что соответствует варианту ответа e. 12.