11. Каков горизонтальный параллакс Сатурна, если его расстояние от Солнца в 10 раз больше, чем расстояние от Земли?

Laki

9

11. Горизонтальный параллакс - это угловое смещение объекта на небесной сфере, вызванное его перспективным движением, когда наблюдатель изменяет свою позицию. Для нашей задачи, чтобы найти горизонтальный параллакс Сатурна, мы можем использовать отношение расстояний Земля-Солнце и Земля-Сатурн.

Расстояние от Земли до Сатурна в 10 раз больше, чем расстояние от Земли до Солнца. Обозначим расстояние от Земли до Солнца \(d_\text{Солнце}\), а расстояние от Земли до Сатурна \(d_\text{Сатурн}\).

Тогда мы можем записать соотношение:

\[\frac{d_\text{Сатурн}}{d_\text{Солнце}} = 10\]

Теперь нам нужно найти горизонтальный параллакс Сатурна. Обозначим его как \(p_\text{Сатурн}\). Горизонтальный параллакс связан с расстоянием объекта до Земли следующим образом:

\[p = \frac{1}{d}\]

Где \(p\) - горизонтальный параллакс, а \(d\) - расстояние от Земли до объекта.

Теперь мы можем использовать наше соотношение и найти горизонтальный параллакс Сатурна:

\[p_\text{Сатурн} = \frac{1}{d_\text{Сатурн}}\]

Подставляем соотношение для расстояний:

\[p_\text{Сатурн} = \frac{1}{10 \cdot d_\text{Солнце}}\]

Таким образом, горизонтальный параллакс Сатурна равен \(\frac{1}{10}\) от горизонтального параллакса Солнца. Обоснование этого результата заключается в том, что при большем расстоянии от Земли до объекта, его горизонтальный параллакс уменьшается.

12. Для нахождения плотности планеты с радиусом, меньшим чем радиус Земли, и ускорением свободного падения, равным ускорению на Земле, нам понадобятся две формулы: формула плотности и формула ускорения свободного падения.

Формула плотности:

\[ \text{плотность} = \frac{\text{масса}}{\text{объем}} \]

Формула ускорения свободного падения:

\[ \text{ускорение свободного падения} = \frac{\text{сила тяжести}}{\text{масса}} \]

Дано, что радиус планеты в два раза меньше, чем радиус Земли, обозначим его как \( r_\text{планеты} \), а радиус Земли - \( r_\text{Земли} \).

Известно также, что ускорение свободного падения на этой планете равно ускорению на Земле. Обозначим его как \( g_\text{планеты} \), а ускорение на Земле - \( g_\text{Земли} \).

Таким образом, радиус планеты можно выразить через радиус Земли:

\[ r_\text{планеты} = \frac{r_\text{Земли}}{2} \]

Подставим этот радиус в формулу плотности:

\[ \text{плотность} = \frac{\text{масса}}{\frac{4}{3} \pi r_\text{планеты}^3} \]

\[ \text{плотность} = \frac{\text{масса}}{\frac{4}{3} \pi \left(\frac{r_\text{Земли}}{2}\right)^3} \]

Следовательно, мы можем видеть, что плотность планеты обратно пропорциональна кубу радиуса. При уменьшении радиуса вдвое, плотность увеличивается в 8 раз.

Чтобы найти период обращения искусственного спутника этой планеты, мы можем использовать формулу для периода обращения спутника вокруг планеты:

\[ T = 2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{G \cdot M}} \]

Где \( T \) - период обращения спутника, \( R \) - радиус планеты, \( G \) - гравитационная постоянная, \( M \) - масса планеты.

Заметим, что радиус планеты уже известен (\( r_\text{планеты} \)), но нам нужно найти массу планеты. Для этого, обратимся к формуле ускорения свободного падения:

\[ g_\text{планеты} = \frac{G \cdot M}{R^2} \]

Решим данное уравнение относительно \( M \):

\[ M = \frac{g_\text{планеты} \cdot R^2}{G} \]

Теперь, с помощью найденной массы планеты и радиуса, мы можем найти период обращения спутника с использованием формулы:

\[ T = 2 \pi \sqrt{\frac{r_\text{планеты}^3}{G \cdot M}} \]

Подставляем найденные значения и решаем уравнение, чтобы найти период обращения искусственного спутника этой планеты.