12. На горизонтальной поверхности лежит клин, масса которого равна М. Около его наклонной стороны с углом наклона

Весенний_Сад

17

Чтобы найти коэффициент трения между клином и плоскостью, необходимо рассмотреть равновесие системы. Для этого проведем анализ всех сил, действующих на клин и брусок.

Для начала введем систему координат, где ось x направлена вдоль плоскости, а ось y перпендикулярна ей и направлена вверх. Поскольку клин находится в покое, сумма сил, действующих на него, должна равняться нулю.

Рассмотрим силы, действующие на клин. По условию задачи, клин находится в покое, следовательно, сумма вертикальных сил, действующих на клин, равна нулю:

\[N - mg\cos(a) - F\sin(a) = 0\]

где:
N - сила реакции опоры,
mg\(\cos(a)\) - компонента силы тяжести клина, направленная вниз,
F\(\sin(a)\) - горизонтальная компонента силы трения между клином и плоскостью.

Также, сумма горизонтальных сил, действующих на клин, равна нулю:

\[F\cos(a) - mg\sin(a) = 0\]

где:
F\(\cos(a)\) - вертикальная компонента силы трения между клином и плоскостью,
mg\(\sin(a)\) - горизонтальная компонента силы тяжести клина, направленная влево.

Из этих двух уравнений можно выразить силу реакции опоры N:

\[N = mg\cos(a) + F\sin(a)\]

Поскольку клин находится в покое, сила реакции опоры равна сумме всех вертикальных сил, действующих на клин.

Теперь рассмотрим брусок. Поскольку брусок скользит без трения, горизонтальная сила трения между бруском и клином также должна равняться нулю:

\[f - F = 0\]

где f - горизонтальная сила трения между бруском и клином.

Подставляем полученное выражение для f в уравнение для N:

\[N = mg\cos(a) + (F + f)\sin(a)\]

Но мы знаем, что \(f = F\), поэтому:

\[N = mg\cos(a) + (2F)\sin(a)\]

Теперь подставляем полученное выражение для N в уравнение равновесия клина по горизонтали:

\[F\cos(a) = mg\sin(a)\]

Выражаем F:

\[F = \frac{{mg\sin(a)}}{{\cos(a)}}\]

Теперь подставляем выражение для F в уравнение для N:

\[N = mg\cos(a) + 2\frac{{mg\sin(a)}}{{\cos(a)}}\sin(a)\]

\[N = mg\cos(a) + 2mg\sin^2(a)\cot(a)\]

В итоге, коэффициент трения между клином и плоскостью может быть найден из уравнения равновесия клина по вертикали:

\[N - mg\cos(a) - F\sin(a) = 0\]

Подставляем полученное выражение для F:

\[N - mg\cos(a) - \frac{{mg\sin^2(a)}}{{\cos(a)}} = 0\]

\[N = mg\cos(a) + \frac{{mg\sin^2(a)}}{{\cos(a)}}\]

Из уравнения можно выразить коэффициент трения \(f = F\):

\[f = \frac{{mg\sin^2(a)}}{{\cos(a)}}\]

Таким образом, результатом является:

\[f = \frac{{mg\sin^2(a)}}{{\cos(a)}}\]

Иными словами, коэффициент трения между клином и плоскостью должен быть равен \(\frac{{mg\sin^2(a)}}{{\cos(a)}}\), чтобы клин удерживался в покое.