Какова масса третьего осколка?

  • 16
Какова масса третьего осколка?
Сквозь_Пыль
61
Давайте разберем эту задачу шаг за шагом. Предположим, что у нас есть два осколка массой \(m_1\) и \(m_2\). Задача состоит в том, чтобы найти массу третьего осколка.

Для решения этой задачи нам понадобится закон сохранения импульса. Согласно этому закону, сумма импульсов до столкновения должна быть равна сумме импульсов после столкновения.

Пусть \(v_1\) и \(v_2\) - скорости двух осколков до столкновения, и \(v_3\) - скорость третьего осколка после столкновения.

Исходя из закона сохранения импульса, у нас есть следующее уравнение:

\[m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1 + m_2 + m_3)v_3\]

Мы также знаем, что общий импульс двух осколков до столкновения равен нулю, так как их скорости равны, но противоположно направлены. То есть,

\[m_1v_1 = -m_2v_2\]

Исходя из этого уравнения, мы можем выразить \(v_1\) через \(v_2\):

\[v_1 = -\frac{{m_2}}{{m_1}}v_2\]

Теперь можем подставить это значение в первое уравнение:

\[-\frac{{m_2}}{{m_1}}v_2 + m_2v_2 = (m_1 + m_2 + m_3)v_3\]

Упростим это уравнение:

\[(m_2 - m_1)v_2 = (m_1 + m_2 + m_3)v_3\]

Для удобства обозначим \(m_2 - m_1 = p\). Тогда у нас будет:

\[pv_2 = (m_1 + m_2 + m_3)v_3\]

Делаем предположение, что скорость третьего осколка после столкновения равна сумме скоростей двух осколков до столкновения, то есть:

\[v_3 = v_1 + v_2\]

Теперь подставляем это значение в уравнение:

\[pv_2 = (m_1 + m_2 + m_3)(v_1 + v_2)\]

Раскрываем скобки и упрощаем:

\[pv_2 = m_1v_1 + m_1v_2 + m_2v_1 + m_2v_2 + m_3v_1 + m_3v_2\]

Заметим, что \(m_1v_1 = -m_2v_2\) и \(v_1 = -\frac{{m_2}}{{m_1}}v_2\), которые мы вывели ранее. Подставляем их:

\[pv_2 = -m_2v_2 + m_1v_2 - m_2v_2 + m_2v_2 - \frac{{m_2m_3}}{{m_1}}v_2 + m_3v_2\]

Упрощаем полученное уравнение:

\[pv_2 = (m_1 - \frac{{m_2m_3}}{{m_1}} + m_3)v_2 - m_2v_2\]

Сокращаем \(v_2\) с обеих сторон:

\[p = m_1 - \frac{{m_2m_3}}{{m_1}} + m_3 - m_2\]

Теперь давайте решим это уравнение относительно \(m_3\). Учитывая, что \(p = m_2 - m_1\), получаем:

\[m_3 = \frac{{p(m_2 - m_1)}}{{m_1}}\]

Таким образом, масса третьего осколка равна \(\frac{{p(m_2 - m_1)}}{{m_1}}\), где \(p\) - разница в массе двух осколков, \(m_1\) - масса первого осколка, \(m_2\) - масса второго осколка.