13. Докажите, что если точка A лежит на прямой, а отрезок BC пересекает эту прямую, то произвольная точка М находится

Sinica

63

Задача 13:
Дано: точка A лежит на прямой, отрезок BC пересекает эту прямую.
Требуется: доказать, что произвольная точка M находится на отрезке AB и пересекает прямую.

Решение:
1. Так как точка A лежит на прямой, то прямая AB проходит через эту точку.
2. Отрезок BC пересекает прямую, значит точка B или точка C (или обе) должна лежать на прямой.
3. Рассмотрим два случая:
- Если B лежит на прямой, то прямая AB проходит через точку B.
- Также отрезок BC пересекает прямую, значит точка C не лежит на прямой, а значит отрезок AB пересекает прямую в точке M, которая находится на отрезке AB.
- Если C лежит на прямой, то прямая AC проходит через точку C.
- Также отрезок BC пересекает прямую, значит точка B не лежит на прямой, а значит отрезок AB пересекает прямую в точке M, которая находится на отрезке AB.
4. В обоих случаях получаем, что произвольная точка M находится на отрезке AB и пересекает прямую.
- Доказательство завершено.

Задача 14:
Дано: Фома утверждает, что точки на прямой принадлежат двум полуплоскостям, границей которых является эта прямая.
Требуется: определить, какая аксиома нарушается, и объяснить, почему она нарушается.

Решение:
Фома утверждает, что точки на прямой принадлежат двум полуплоскостям, границей которых является эта прямая. Однако, это утверждение нарушает аксиому о принадлежности точки только одной полуплоскости. Согласно этой аксиоме, каждая точка принадлежит только одной полуплоскости, а не двум одновременно. При утверждении Фомы, прямая становится границей двух полуплоскостей, что противоречит данной аксиоме.

Задача 15:
Дано: прямая пересекает одну сторону треугольника в точке, отличной от вершины.
Требуется: доказать, что прямая также пересечет еще одну сторону треугольника.

Решение:
Пусть у нас есть треугольник ABC, в котором прямая l пересекает сторону AC в точке D (не являющейся вершиной).

1. Рассмотрим два случая в зависимости от положения точки D:
- Если точка D находится внутри треугольника ABC, то прямая l, проходя через точку D, пересечет сторону AB в какой-то точке E.
- Если точка D находится снаружи треугольника ABC, то прямая l, проходя через точку D, пересечет сторону BC в какой-то точке F.

2. Таким образом, в обоих случаях прямая l пересекает еще одну сторону треугольника (AB или BC), что и требовалось доказать.

Задача 16:
Требуется: нарисовать пятиугольную звезду и провести прямую, пересекающую все ее пять звеньев.

Решение:
Чтобы нарисовать пятиугольную звезду, нужно провести пять отрезков, каждый из которых соединяет вершину с определенной другой вершиной в пятиугольнике. Затем, чтобы провести прямую, пересекающую все пять звеньев звезды, можно начать с любой вершины и нарисовать прямую, которая будет пересекать оставшиеся четыре звена звезды в разных точках. Важно отметить, что прямая должна пройти через центр пятиугольника, так как это является общим для всех пяти звеньев. Таким образом, нетрудно провести такую прямую.