16 вариант треугольника с неизвестными элементами: а) найдите значения неизвестных элементов, если a=15, a=75° и y=45°

Lesnoy_Duh

19

Давайте решим задачу по очереди и найдем значения неизвестных элементов для каждого варианта треугольника.

а) Найти значения неизвестных элементов, если \(a = 15\), \(\angle A = 75^\circ\) и \(\angle B = 45^\circ\).

Для начала, обратим внимание на то, что \(\angle A\) и \(\angle B\) - это углы треугольника, а не стороны. Поэтому требуется найти стороны треугольника.

Используя информацию о значении угла \(\angle A\), мы знаем, что \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\). Так как углы треугольника в сумме дают 180 градусов, мы можем найти \(\angle C\) следующим образом:

\(\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 75^\circ - 45^\circ = 60^\circ\)

Теперь приступим к поиску значений сторон треугольника.

Применим Закон синусов, который устанавливает соотношение между длиной стороны треугольника и синусами противолежащих углов.

Закон синусов гласит:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]

Мы знаем, что \(a = 15\) и \(\angle A = 75^\circ\), поэтому воспользуемся этими значениями для нахождения отношения второй стороны:

\[\frac{15}{\sin 75^\circ} = \frac{b}{\sin B}\]

Теперь выразим \(\sin B\) и найдем значение стороны \(b\):

\[\sin B = \frac{b}{15} \cdot \sin 75^\circ\]

Точно так же найдем значение стороны \(c\):

\[\sin C = \frac{c}{15} \cdot \sin 60^\circ\]

Таким образом, мы можем найти значения сторон \(b\) и \(c\) для данного варианта треугольника.

б) Определить неизвестные элементы при условии \(a = 15\), \(b = 23\) и \(\angle C = 45^\circ\).

Для данного варианта задачи у нас известны две стороны треугольника и один угол.

Мы можем использовать Закон косинусов, чтобы найти неизвестные элементы.

Закон косинусов устанавливает соотношение между длиной стороны треугольника и косинусами углов.

Закон косинусов имеет следующую формулу:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C\]

Мы знаем, что \(a = 15\), \(b = 23\) и \(\angle C = 45^\circ\), поэтому подставим эти значения в формулу:

\[c^2 = 15^2 + 23^2 - 2 \cdot 15 \cdot 23 \cdot \cos 45^\circ\]

Выполняя вычисления, получим:

\[c^2 = 225 + 529 - 690 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\]

\[c^2 \approx 754.19\]

Извлекая квадратный корень, мы найдем значение стороны \(c\) для данного варианта треугольника.

в) Вычислить неизвестные элементы треугольника с \(a = 5\), \(b = 18\) и \(c = 20\).

Для данного варианта задачи у нас известны все три стороны треугольника.

Мы можем использовать Закон косинусов, чтобы найти углы треугольника, а затем Закон синусов, чтобы найти значения противоположных сторон.

Применяя Закон косинусов, мы можем определить косинусы углов треугольника.

Закон косинусов имеет следующую формулу:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C\]

Мы знаем, что \(a = 5\), \(b = 18\) и \(c = 20\), поэтому мы можем подставить эти значения в формулу и решить ее относительно косинуса угла \(C\).

Подставим значения:

\[20^2 = 5^2 + 18^2 - 2 \cdot 5 \cdot 18 \cdot \cos C\]

\[400 = 25 + 324 - 180 \cdot \cos C\]

\[400 = 349 - 180 \cdot \cos C\]

\[-51 = -180 \cdot \cos C\]

Отсюда получаем:

\[\cos C = \frac{-51}{-180} \approx 0.2833\]

Теперь мы можем найти значение угла \(C\), используя обратный косинус:

\[C = \arccos (0.2833) \approx 72.5594^\circ\]

Теперь, когда мы знаем значение угла \(C\), можем использовать Закон синусов, чтобы найти значения двух других углов:

\[\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}\]

Мы знаем, что \(c = 20\) и \(C \approx 72.59^\circ\), поэтому мы можем найти отношения:

\[\frac{\sin A}{5} = \frac{\sin B}{18} = \frac{\sin 72.59^\circ}{20}\]

Далее, найдем значения углов \(A\) и \(B\) с помощью тригонометрических соотношений.

Таким образом, мы можем найти значения углов и сторон для данного варианта треугольника.

Пожалуйста, обратите внимание, что результаты вычислений округлены до определенного количества знаков после запятой для удобства чтения, но в реальной практике рекомендуется сохранять более точные значения для дальнейших вычислений, если это необходимо.