Яку довжину має менша сторона прямокутника, якщо довжина його більшої сторони дорівнює 2 корінь 21 см, а відношення

Solnce

36

Для решения этой задачи, давайте обозначим за \(x\) длину меньшей стороны прямоугольника.

Так как отношение меньшей стороны к диагонали составляет 2:5, то мы можем записать уравнение:

\(\frac{x}{\text{диагональ}} = \frac{2}{5}\)

Теперь нам нужно выразить диагональ через длину большей стороны.

Мы знаем, что длина большей стороны составляет \(2\sqrt{21}\) см. По теореме Пифагора, диагональ прямоугольника равна \(\sqrt{\text{длина большей стороны}^2 + \text{длина меньшей стороны}^2}\).

Подставляя известные значения, получаем:

\(\text{диагональ} = \sqrt{(2\sqrt{21})^2 + x^2}\)

Теперь мы можем подставить это выражение в уравнение отношения сторон:

\(\frac{x}{\sqrt{(2\sqrt{21})^2 + x^2}} = \frac{2}{5}\)

Чтобы избавиться от знаменателя, мы можем возвести обе части уравнения в квадрат:

\(x^2 = \frac{4}{25} \cdot \left( (2\sqrt{21})^2 + x^2 \right)\)

Раскрывая скобки, получаем:

\(x^2 = \frac{4}{25} \cdot \left( 4 \cdot 21 + x^2 \right)\)

Упрощаем:

\(x^2 = \frac{4}{25} \cdot (84 + x^2)\)

Раскрываем скобки и сокращаем:

\(x^2 = \frac{336}{25} + \frac{4}{25}x^2\)

Переносим все \(x^2\) в одну часть уравнения:

\(\frac{25}{25}x^2 - \frac{4}{25}x^2 = \frac{336}{25}\)

\(\frac{21}{25}x^2 = \frac{336}{25}\)

Далее, домножаем обе части уравнения на \(\frac{25}{21}\), чтобы избавиться от знаменателя:

\(x^2 = \frac{336}{21}\)

\(x^2 = 16\)

Извлекая квадратный корень, находим значение \(x\):

\(x = \sqrt{16}\)

\(x = 4\)

Таким образом, меньшая сторона прямоугольника равна 4 см.