17! With regard to 11th grade. 1. Formulate the equation of a circle with center at the given point s and a given

Lisa

20

1. Уравнение окружности можно записать в виде \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\), где \((a, b)\) - координаты центра окружности, а \(r\) - радиус окружности. Для заданной окружности с центром \(s(-6; 3)\) и радиусом \(r=\sqrt{2}\), уравнение будет выглядеть следующим образом:

\((x+6)^2 + (y-3)^2 = (\sqrt{2})^2\)

2. Для определения координат центра и радиуса окружности по заданному уравнению окружности, нужно привести уравнение в каноническую форму \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\).

a) Заданное уравнение окружности: \(9x^2 +9y^2 -72+18y-208=0\)

Сначала приведем уравнение к виду, в котором коэффициенты при \(x\) и \(y\) будут равны 1:

\(9(x^2 +y^2) + 18y = 280\)

Теперь разделим все коэффициенты на 9:

\(x^2 + y^2 + 2y = \frac{280}{9}\)

Чтобы завершить приведение уравнения к канонической форме, нужно завершить квадратное выражение \(y^2 + 2y\). Для этого добавим и вычтем \((2/2)^2 = 1\):

\(x^2 + (y^2 + 2y + 1) = \frac{280}{9} + 1\)

\(x^2 + (y+1)^2 = \frac{289}{9}\)

Теперь уравнение имеет нужный нам вид, где центр окружности - это точка \((-a, -b)\), а радиус - это квадратный корень из правой стороны уравнения:

Центр: \((-0, 1)\), Радиус: \(\frac{17}{3}\)

б) Заданное уравнение окружности: \(4x^2 +4y^2 +16x-32y-41=0\)

По аналогии с предыдущим шагом, приведем уравнение к канонической форме:

\(4(x^2 +y^2) + 16x - 32y = 41\)

Делим все коэффициенты на 4:

\(x^2 + y^2 + 4x - 8y = \frac{41}{4}\)

Завершаем квадратные выражения \(x^2 + 4x\) и \(y^2 - 8y\), добавляя и вычитая правильные квадраты:

\(x^2 + 4x + 4 - 4 + y^2 - 8y + 16 - 16 = \frac{41}{4}\)

\((x+2)^2 + (y-4)^2 = \frac{81}{4}\)

Центр: \((-2, 4)\), Радиус: \(\frac{9}{2}\)

3. Чтобы найти уравнение окружности, которая касается координатных осей и проходит через точку \(m(-2, y)\), мы знаем, что центр окружности будет находиться на линии \(y=x\), поскольку окружность касается координатных осей.

Таким образом, всякое уравнение окружности, лежащей на линии \(y=x\) и проходящей через точку \(m(-2, y)\), будет иметь вид \((x-a)^2 + (y-a)^2 = r^2\), где \(a=-2\) - координата центра окружности.

Теперь можем найти радиус \(r^2\). Так как окружность проходит через точку \(m(-2, y)\), подставим ее координаты в уравнение и выразим \(r^2\).

\((-2+2)^2 + (y+2)^2 = r^2\)

Так как окружность также касается координатных осей, то одна точка касания будет находиться на оси \(x\), а другая точка касания - на оси \(y\). Следовательно, эти две точки будут находиться на расстоянии \(r\) от центра окружности. Находим \(r\) из выражения \(r=\sqrt{2}a\), где \(a\) - координата центра окружности.

Подставляем эти значения в уравнение окружности:

\((2)^2 + (y+2)^2 = (\sqrt{2}a)^2\)

\(4 + (y+2)^2 = 2a^2\)

\(4 + (y+2)^2 = 2(-2)^2\)

\(4 + (y+2)^2 = 8\)

\((y+2)^2 = 4\)

\(y+2 = \pm 2\)

\(y = 0\) или \(y = -4\)

Тогда уравнение окружности будет иметь два варианта:

a) \((x+2)^2 + (y- (-2))^2 = 4\)

б) \((x+2)^2 + (y-(-6))^2 = 4\)