2. а) Каковы уравнения асимптот функции, заданной дробно-линейной функцией у=ax+4/2x+b? Определите значения переменных

Кирилл_9159

21

Добро пожаловать! Давайте решим задачу по порядку.

а) Для нахождения асимптот функции, заданной дробно-линейной функцией \(f(x) = \frac{ax+4}{2x+b}\), нам понадобятся следующие шаги:

1. Определение вертикальной асимптоты: Вертикальная асимптота возникает, когда знаменатель функции равен нулю. Решим уравнение \(2x+b = 0\) для нахождения значения x. Это уравнение имеет единственное решение, \(x = -\frac{b}{2}\). Таким образом, уравнение вертикальной асимптоты имеет вид \(x = -\frac{b}{2}\).

2. Определение горизонтальной асимптоты: Горизонтальная асимптота может быть определена путем исследования поведения функции при \(x \to \pm\infty\). Дробно-линейная функция имеет горизонтальную асимптоту, когда степень числителя и степень знаменателя равны. В данном случае, степень числителя равна 1, а степень знаменателя также равна 1. Итак, у нас есть одна горизонтальная асимптота.

Таким образом, у уравнения \(f(x) = \frac{ax+4}{2x+b}\) есть вертикальная асимптота \(x = -\frac{b}{2}\) и одна горизонтальная асимптота.

б) Чтобы привести дробно-линейную функцию \(f(x) = \frac{ax+4}{2x+b}\) к виду \(y = n + \frac{k}{x} + m\), мы будем использовать значения переменных a и b, которые мы определили ранее. Давайте разложим дробь на простейшие слагаемые:

\[\frac{ax+4}{2x+b} = \frac{a}{2} - \frac{\frac{ab}{2} - 4a}{2x+b} = \frac{a}{2} - \frac{\frac{ab-8a}{2}}{2x+b}\]

Получили вид \(y = n + \frac{k}{x} + m\), где

\[n = \frac{a}{2}, \quad k = \frac{ab-8a}{2}, \quad m = 0\]

Итак, дробно-линейная функция \(f(x) = \frac{ax+4}{2x+b}\) можно привести к виду \(y = \frac{a}{2} + \frac{ab-8a}{2x+b}\).

2. Чтобы найти точки пересечения функции с осями координат, нам нужно решить систему уравнений \(f(x) = 0\) и \(x = 0\). Подставим \(f(x) = \frac{ax+4}{2x+b}\) в первое уравнение и решим его:

\[\frac{ax+4}{2x+b} = 0\]

Так как дробь равна нулю только если числитель равен нулю, мы можем решить уравнение \(ax+4 = 0\) для нахождения значения x. Получаем:

\[x = -\frac{4}{a}\]

Таким образом, функция пересекает ось абсцисс при \(x = -\frac{4}{a}\). Чтобы найти точку пересечения с осью ординат (\(y\)-ось), подставим \(x = 0\) в уравнение \(f(x)\):

\[f(0) = \frac{a \cdot 0 + 4}{2 \cdot 0 + b} = \frac{4}{b}\]

Таким образом, функция пересекает ось ординат при \(y = \frac{4}{b}\).

3. Для построения графика функции, мы можем использовать найденные асимптоты, точку пересечения с осью ординат и осью абсцисс, исследовать ее поведение в окрестности этих точек и построить несколько дополнительных точек, если это необходимо.

- Вертикальная асимптота \(x = -\frac{b}{2}\) является вертикальной линией, к которой график функции стремится, но не пересекает.
- Горизонтальная асимптота может быть нарисована в виде горизонтальной прямой, на которую график функции также стремится, но не пересекает.
- Точка пересечения с осью абсцисс (\(x\)-ось) находится при \(x = -\frac{4}{a}\) и пересекается с графиком функции.
- Точка пересечения с осью ординат (\(y\)-ось) находится при \(y = \frac{4}{b}\) и также пересекается с графиком функции.

Вы можете выбрать дополнительные значения для \(x\) и, затем, рассчитать соответствующие значения \(y\) используя уравнение \(f(x)\), чтобы построить больше точек. Обратите внимание на поведение графика в окрестности асимптот и точек пересечения с осями координат.

Я надеюсь, что эти объяснения помогут вам понять, как решать данную задачу и построить график функции. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.